Comment construire des sous-espaces vectoriels
Objectifs
Soit
E un
K-espace vectoriel. Est-ce que
E possède "peu" ou "beaucoup"
de sous-espaces vectoriels ? Y a-t-il toujours un sev contenant un certain nombre de vecteurs donnés ? A-t-on dans
E l'équivalent des droites et plans de
? A partir de deux (ou plus) sev de
E peut-on en construire d'autres, par des opérations usuelles sur les ensembles, comme la réunion et l'intersection ?
Guide
Sous-espaces vectoriels engendrés
Proposition et définition : Soient
E un
K-espace vectoriel,
et
u1, ... ,
up des vecteurs de
E.
- L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs
u1, ... , up est un sous-espace vectoriel de
E, noté
Vect(u1, ... , up) et appelé le sous-espace vectoriel de
E engendré par la suite de vecteurs
(u1, ... , up) .
-
Vect(u1, ... , up) est le plus petit sous-espace vectoriel de
E contenant l'ensemble des vecteurs
u1, ... , up.
Exercice :
-
Combinaison linéaire
-
Combinaison linéaire 2
Droites
Soit
. Si
u1=0
E,
. Sinon :
Définition : Soit
E un
K-espace vectoriel. Une droite de
E est un sous-espace vectoriel de
E engendré par un vecteur non nul. Si
D est une droite de
E, il existe
, tel que
.
Exercice : Si
D est une droite d'un K-espace vectoriel
E, alors tout vecteur non nul de
D engendre
D.
Plans
Soient
u1 et
u2 dans
E. Si
u1=
u2=0
E alors
. Si
ou
, où
, alors
Vect(
u1,
u2) est une droite. Sinon :
Définition : Soit
E un
K-espace vectoriel.
- Deux vecteurs
u1 et
u2 de
E sont dits colinéaires s'il existe
tel que
ou s'il existe
tel que
.
- Un plan de
E est un sous-espace vectoriel de
E engendré par deux vecteurs non colinéaires.
Exercice :
- Les vecteurs
u=(a,c) et
v=(b,d) de
sont colinéaires si et seulement si
ad-bc=0 (on rappelle que
ad-bc est l'aire algébrique du parallélogramme défini par les vecteurs
u et
v).
- Montrer que si
u et
v sont deux vecteurs non colinéaires de
, alors
(u,v) est une suite génératrice de
. En déduire que les seuls sous-espaces vectoriels de
sont
,
et les droites vectorielles.
Espaces affines
Les droites et plans que nous venons de définir sont des sous-espaces vectoriels de
E, donc contiennent
0
E, ou, en langage géométrique, passent par l'origine. Parfois on le précise en disant qu'ils sont des
droites et plans vectoriels . Nous appellerons
droite affine ou
plan affine le translaté par un vecteur fixe d'une droite ou plan vectoriels. Plus généralement :
Définition : Soit
E un
K-espace vectoriel. Si
, la translation par le vecteur
u0 est l'application de
E dans
E,
. Si
V est un sous-espace vectoriel de
E, on dit que
est un
sous-espace affine de
E, dont la direction est
V.
Exemples de la droite et du plan
Exemple : Si
u1 est non nul, les équations paramétriques
de la droite
D=
K u1 sont :
Exemple : Si
u1 est non nul et si
u1 et
u2 ne sont pas colinéaires, les équations paramétriques
du plan
P=Vect(
u1,
u2) de
Kn sont
Exercice :
Equations paramétriques et équations cartésiennes
Nous connaissons maintenant deux façons d'obtenir un sev de
Kn :
L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène
(S) de
p équations,
n inconnues et à coefficients dans
K est un sev
F de
Kn. On dit alors que
(S) est un système d'équations cartésiennes de
F.
Considérons
p vecteurs de
Kn,
. Alors
F=Vect(
u1,
u2, ... ,
up) est un sous-espace de
Kn, et les coordonnées d'un vecteur quelconque
u=(
x1,...,
xn) de
F vérifient les équations suivantes, où
t1,
t2, ...
tp sont des scalaires dans
K :
On dit alors que
est un système d'équations paramétriques du sous-espace
F.
Passage des équations cartésiennes aux équations paramétriques
Pour passer d'un système
(
S) d'équations cartésiennes d'un sev
F de
Kn à un système d'équations paramétriques de
F
??
on résout le système linéaire
(S), qui a
p équations et
n inconnues ; si
(S) est de rang
r, la solution générale s'écrit en fonction de
n-r paramètres arbitraires (les inconnues secondaires) et on obtient un système d'équations paramétriques de
F comportant
n-r paramètres.
Pour passer d'un système
d'équations paramétriques d'un sev
F de
Kn à un système d'équations cartésiennes de
F
??
le système d'équations paramétriques de
F fournit une suite génératrice
(u1, ... , up) de
F ; soit
la matrice dont les vecteurs colonnes sont
u1, ... , up ; soient
,
, on considère le système linéaire
AT=X ; on échelonne le tableau complet de ce système, si on a
r inconnues principales, on a
n-r conditions de compatibilité du système
AT=X ; ces
n-r équations linéaires scalaires (où les inconnues sont les coordonnées
x1, x2, ... ,xn du vecteur second membre
X) constituent un système d'équations cartésiennes de
F.
Equations cartésiennes des plans et droites affines
Proposition : Si
a,
b et
c sont des scalaires dans
K non tous nuls, alors pour tout
d dans K l'équation linéaire :
ax + by + cz = d
représente un plan affine
P de
K3 ;
P est un plan vectoriel si et seulement si
d=0.
Proposition : Si les vecteurs
(
a,
b,
c) et
(
a',
b',
c') de
K3 ne sont pas colinéaires, alors pour tous
d et
d' dans K, l'ensemble des solutions du système linéaire :
est une droite affine
D de
K3 ;
D est une droite vectorielle si et seulement si
d=d'=0.
Hyperplans de Kn
Définition : Soient
,
, considérons l'équation linéaire scalaire :
L'ensemble
H des solutions de (2) est un sous-espace affine
H de
Kn appelé hyperplan affine , dont (1) est une équation cartésienne.
H est un hyperplan vectoriel si et seulement si
b=0 (il admet alors une suite génératrice composée de
n-1 vecteurs).
Un hyperplan de
K2 est une droite, un hyperplan de
K3 est un plan.
Intersection, réunion et somme de sev
Proposition : Soient
F et
G deux sous-espaces vectoriels du K-espace vectoriel
E.
-
est un sous-espace vectoriel de
E.
-
n'est pas en général un sous-espace vectoriel de
E ;
est un sous-espace vectoriel de
E si et seulement si
ou
.
-
Le complémentaire
de
F dans
E n'est pas un sous-espace vectoriel de
E.
Proposition et définition : Soient
F et
G deux sous-espaces vectoriels du
K-espace vectoriel
E. On note :
Alors
F+
G est un sous-espace vectoriel de
E, appelé
le sous-espace somme de
F et
G. C'est le plus petit sous-espace de
E contenant
.
Equations de l'intersection et de la somme
Soient
F et
G deux sev de
Kn. Comment déterminer des systèmes d'équations cartésiennes ou paramétriques de
et de
F+
G ?
-
Il est immédiat d'écrire un système d'équations cartésiennes de
, si l'on a des systèmes d'équations cartésiennes
(S1) de
F et
(S2) de
G : la juxtaposition des équations de
(S1) et de
(S2) fournit un système d'équations cartésiennes de
.
- Il est immédiat d'écrire un système d'équations paramétriques de
F + G, si l'on a des systèmes d'équations
paramétriques (ou des suites génératrices) de
F et de
G : si
(u1, ... , up) engendre
F et
(v1, ... , vq) engendre
G, alors
(u1, ... , up, v1, ... , vq) engendre
F+G.
- Dans d'autres cas, soit on se ramène aux deux cas précédents, soit on résout par Gauss un système linéaire adapté au problème.
Exemple : Intersection d'hyperplans affines
L'intersection d'hyperplans affines de
Kn est
- soit vide,
- soit un sous-espace affine.
L'interprétation géométrique de la résolution d'un système linéaire le montre : les lignes
L1, ... , Lp d'un système linéaire
(S) de
p équations,
n inconnues et à coefficients dans
K, représentent des hyperplans affines
P1, ... , Pp de
Kn. L'ensemble des solutions représente donc l'intersection
de ces hyperplans affines. Si
(S) est incompatible, l'intersection est vide, si
(S) est compatible, l'intersection est un sous-espace affine de
Kn.
Exercices
Attention : les exercices suivants concernent surtout pour l'instant des espaces affines.
Exercices : Voici quelques exercices de changement de types d'équations :
-
Droites
-
Droites
-
Plan
-
Plan
-
Hyperplan
-
Hyperplan