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OEF Green --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 8 exercices sur les champs de vecteurs et la formule de Green (dimension 2).

Centre géométrique

On considère la plaque convexe dont le bord est formé par un segment de à , un quart de cercle de à centré en 0 puis un arc de parabole de vers d'équation . En utilisant le théorème de Green, calculer
  1. l'aire de
  2. les coordonnées du centre géométrique de .
xrange , yrange -0.5, linewidth 3 line ,, green arc 0, 0,2*,2*,0,90,green trange 0, plot green, , t filltoborder 0,/2,green,grey linewidth 1 arrow 0,0, 0,\My,10,black arrow 0,0, \Mx,0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black text black, 0,0, medium, A text black, ,0, medium, B text black, 0,, medium, C

Champ, rotationnel

Soit , et trois fonctions non nulles de dans et soit le champ sur défini par
.
Le rotationnel de est nul si est . Supposons maintenant que est et supposons qu'on a le tableau de valeurs suivant :
Calculer la circulation de le long d'une courbe allant du point au point .

Connexité, convexité, simple connexité

Le domaine défini par les équations et est .
Donner la réponse la plus précise.
En effet, le domaine défini par les équations et est . Est-il aussi simplement connexe ? Donner le centre et le rayon d'un cercle contenu dans qui entoure un domaine non entièrement contenu dans et qui prouve donc que n'est pas simplement connexe. Donner deux points de extrémités d'un segment non entièrement contenu dans puis un point du segment qui n'est pas dans (ce qui prouvera que n'est pas convexe).
On donnera la liste des coordonnées séparées par des virgules.

Courbes et théorème de Green

On considère la courbe suivante tracée en vert :
xrange -3.5,4.5 yrange -3.5,4.5 trange 0,2*pi linewidth 3 plot green, plot green, fill -1,0, fill 0,0, text black,,,large, A disk ,,4, navy text black,,,large, B disk ,,4, navy
Le domaine qu'elle entoure est le domaine . Les courbes sont d'équation pour in [ ] et pour in [0, ]. Calculer pour chacun des morceaux de la courbe le vecteur unitaire tangent à la courbe au point de paramètre donnant l'orientation demandée par le théorème de Green.

Théorème de Green

Soit et le champ vectoriel défini par . Considérons le raisonnement suivant :

On peut calculer l'intégrale curviligne du champ le long de la courbe à l'aide du théorème de Green et remplacer ainsi cette intégrale par une intégrale double.

Ce raisonnement est-il juste ? On a donc la formule
d x d y
avec le domaine entre les deux cercles
xrange , yrange , trange 0,1 linewidth 3 plot green, plot green, linewidth 1 hline black, 0,0 vline black, 0,0
vert
xrange , yrange , trange 0,1 linewidth 3 plot green, fill , green linewidth 1 hline black, 0,0 vline black, 0,0
Le raisonnement est en effet faux. Pourquoi ? On prendra en priorité les raisons concernant la courbe et le domaine (rentrer A, B, C, D ou E)
A : Il est faux parce que la courbe n'est pas fermée et on ne peut donc pas définir de domaine bordé par la courbe orientée .
B : Il est faux parce que bien que la courbe soit fermée et bien orientée, le champ F n'est pas défini sur le domaine bordé par .
C : Il est faux parce que le rotationnel de est non nul.
D : Il est faux parce que le domaine intérieur de n'est pas simplement connexe (c'est-à-dire "a un trou").
E : Il est faux parce que la courbe est mal orientée.

Intégrales curvilignes (Green-parabole)

En utilisant le théorème de Green, calculer l'intégrale curviligne
le long de la courbe orientée dans le sens positif et qui est le bord de la région enfermée entre la parabole d'équation et la droite d'équation .
xrange , yrange , linewidth 3 line -(),, ,, green trange -(), plot green , t, fill 0,,grey linewidth 1 arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1,0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black hline 0,, black

Intégrales curvilignes (Green-rectangle)

En utilisant le théorème de Green, calculer l'intégrale curviligne
le long de la courbe orientée dans le sens positif et formée du rectangle de sommets , , et
xrange , yrange , fpoly grey, 0,0,,0, ,,0,, 0,0 linewidth 3 polygon green, 0,0,,0, ,,0,, 0,0 linewidth 1 arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1,0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black text black, 0,0,medium, O text black, ,0,medium, A text black, 0, ,medium, B text black, ,,medium, C

Intégrales curvilignes (Green-triangle)

En utilisant le théorème de Green, calculer l'intégrale curviligne
le long de la courbe orientée dans le sens positif où est le triangle de sommets , et est .
  • Si est l'intérieur du triangle, on a
  • La valeur numérique est
    • xrange , yrange , arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1,0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black fpoly grey, 0,0,,0, ,, 0,0 linewidth 3 polygon green, 0,0,,0, ,, 0,0 text black, 0,0,medium, O text black, ,0,medium, A text black, , ,medium, B
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