Surfaces paramétrées

Guide

Etude rapide des surfaces paramétrées, calcul de l'aire d'une surface, flux d'un champ de vecteurs à travers une surface. Formules de Stokes-Green.

Documents

J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)

Surfaces

Introduction

Les surfaces peuvent être données de plusieurs manières différentes
Si vous connaissez les quadriques, vous pouvez regarder les exercices suivants (c'est aussi un moyen de voir à quoi elles ressemblent) :

Définition

Définition : Une surface paramétrée dans est une application C1 d'un domaine calD de dans :
S : (u,v) in calD mapsto f(u,v) in
Si les composantes de la fonction vectorielle f sont f = (f1,f2,f3), on écrit aussi :

On note quelquefois les composantes de f( u , v) par x(u , v), y(u , v), z(u , v), ce qui donne les équations

De même que pour les courbes paramétrées, une surface paramétrée est fournie avec son paramétrage.
On peut aussi ne regarder que l'image f(calD) de l'application f ; c'est un sous-ensemble de qu'on appelle aussi surface dans (à condition qu'elle ne soit pas dégénérée ...)

Exemple fondamental

Exemple : Soit g une fonction de calS subset dans RR. On lui associe la surface paramétrée d'équation
Mais on aurait aussi pu aussi lui associer la surface paramétrée d'équation
ou

Exercice : Paramétrer une surface . Réciproquement, lorsqu'on peut exprimer une des coordonnées en fonction des deux autres, on trouve facilement un paramétrage de la surface.

Exemples : parallélogramme, cône, sphère, cylindre ...

Exemple : Paramétrer l'intérieur d'un parallélogramme s'appuyant sur deux vecteurs indépendants de : V1 = (a1 , b1 , c1) et V2 = (a2 , b2 , c2) au point A = (a , b , c).

Solution
On note ici les deux paramètres u et v : de manière compacte,
avec
ou

si A est le point de coordonnées (a , b , c) et V1 et V2 les vecteurs (a1 , b1 , c1) et (a2 , b2 , c2).


Le Tracé pour v1 = (4,4,1) et v2 = (-3,3,1).

Exemple : Paramétrer la surface de d'équation x = y2 + z2

Solution
On note ici les deux paramètres theta et r :
avec .


Tracé

Exemple : Paramétrer la sphère de d'équation x2 + y2 + z2 = 1

Solution
On note ici les deux paramètres varphi et theta, ils sont bien sûr liés aux coordonnées sphériques:
avec .


Tracé

Exemple : Paramétrer le cylindre de d'équation x2 + y2 = a2.

Solution
On note ici les deux paramètres theta et z, ils sont bien sûr liés aux coordonnées cylindriques :
avec .


Tracé pour a=3.

Exemple : Paramétrer le paraboloïde hyperbolique de d'équation x2 + y2 = z2.

Solution
Une paramétrisation d'un paraboloide elliptique d'équation implicite z = x2+y2 :

avec u > 0 et .


Tracé

Quelques surfaces paramétrées à tracer

Hélicoïde :
En coordonnées cylindriques :

Tracé

Tore :
avec A et a des constantes. En coordonnées cylindriques :


Tracé

Surface d'Enneper :


Tracé

Sans nom :
Cette surface a comme équation en coordonnées sphériques



Tracé pour .

Plan tangent

Pour (u0 , v0) in calD, le vecteur de est de composantes
.
On le note aussi D1(f)(u0,v0) ou Du(f)(u0,v0).
De même, peut être noté .
Définition : Si calS est une surface paramétrée C1, (u0,v0) in calD, si M0 est le point de la surface de paramètre (u0 , v0) : M0 = f(u0,v0) et si et sont deux vecteurs de linéairement indépendants, on appelle plan tangent au point M0 = f(u0 , v0) de paramètres (u0 , v0) le plan engendré par ces deux vecteurs et passant par le point M0.

Un tel point est appelé point régulier.


Définition : On dit que calS est lisse si et sont indépendants pour tous paramètres (u0,v0).

Ainsi, si calS est lisse, le plan tangent existe pour tous les paramètres. La condition d'indépendance se traduit par
.

Calculer le plan tangent

Pour trouver l'équation de ce plan, on peut utiliser les méthodes équivalentes suivantes :
Le lien entre les deux méthodes est donné par la formule
.

Pour tester qu'un vecteur V est dans le plan tangent, on peut vérifer que son produit scalaire avec N est nul ou, ce qui revient au même que le déterminant de V, D1(f)(u0,v0) et D2(f)(u0,v0) est nul.

Exercices :

Vecteur normal

Définition : Le vecteur normal orienté à la surface paramétrée au point de paramètre (u0 , v0) est donné par
.

Définition : Le vecteur normal unitaire orienté à la surface paramétrée est donné par
.

Remarque : l'indépendance des deux vecteurs D1(f)(u0 , v0) et D2(f)(u0 , v0) permet de montrer que localement, la surface ressemble au graphe d'une fonction z = g(x,y), comme dans le cas des courbes paramétrées.
Les deux vecteurs D1(f)(u0, v0) et D2(f)(u0, v0) sont deux vecteurs du plan tangent en M0 = f(u0, v0). Ainsi, le vecteur normal est normal au plan tangent.

Exemples de calcul de vecteurs normaux

Vecteur normal à un parallélogramme
Le parallélogramme est décrit par
avec
Le vecteur normal est
et ne dépend bien sûr pas du point. Sa norme est

Vecteur normal au cône

Le cône d'équations z2 = x2 + y2 admet comme paramétrisation
On prend donc comme paramètres theta et z.
On a alors
On a donc

Vecteur normal à la sphère

Le vecteur normal à la sphère paramétrée par
est

= =
Le carré de la norme de N est égal à . Donc
.
En particulier, N est nul si l'angle varphi est égal à , c'est-à-dire au pôle. Il y a pourtant un plan tangent en ce point, mais il ne peut pas être défini avec la recette précédente avec ce paramétrage.

Vecteur normal au cylindre

Le cylindre d'axe O z et de rayon a est d'équations cylindriques x2 + y2 = a2 et admet comme paramétrisation

On prend donc comme paramètres theta et z.
On a alors
On a donc
Le vecteur normal est parallèle au plan x O y.

Vecteur normal à un

La surface z = x2 + y2 admet comme paramétrisation

On prend donc comme paramètres r > 0 et .
On a alors
On a donc

Vecteur normal à une surface de révolution

Une surface de révolution d'axe O z d'équations cylindriques r = h(z) avec h une fonction d'une variable réelle admet comme paramétrisation

On prend donc comme paramètres z et theta.
On a alors
On a donc

Exercices

Exercices :

Exercice : Paramétrisation et vecteur normal

Aire et intégrales de surface

Aire

Définition : Soit calS : (u , v) in calD mapsto f(u,v) une surface paramétrée. On appelle élément de surface

Définition : Soit calD un domaine borné. Soit calS : (u,v) in calD mapsto f(u,v) une surface paramétrée telle que f soit injective. L'aire A(calS) de calS) est donnée par la formule
A(calS)=

La "justification" de cette formule est la suivante :
Théorème : Soient V1 et V2 deux vecteurs de linéairement indépendants. Alors, est orthogonal au plan engendré par V1 et V2 et sa norme est égale à l'aire du parallélogramme formé à partir de V1 et V2.

Exemples de calcul d'aires

Aire d'une surface plane
Prenons maintenant une surface plane : contenue dans le plan z = 1 par exemple. Ses équations paramétriques sont données par x = u, y = v, z = 1. Le vecteur normal est , l'aire vaut

On retrouve donc bien l'aire du domaine D au sens usuel.

Aire d'une surface plane II

Prenons maintenant une surface plane donnée de manière plus compliquée :
.
Les équations sont donc x = f1(u , v), y = f2(u , v), z = 1. Le vecteur normal est donné par
avec
Donc l'aire de la surface plane S = f(D) est égale à
| du dv )

On retrouve la formule de changement de variables dans le cas des intégrales doubles.

Aire d'une surface définie par une équation explicite

Prenons une surface définie de manière explicite par z = g(x,y). On la paramètre de manière naturelle :
Alors
, ,

Donc l'aire de la surface est égale

Il s'agit d'une intégrale double à ne pas confondre avec la longueur d'une courbe.

Aire d'une surface sphérique

La norme du vecteur normal en un point de paramètres theta, varphi est égal à pour la paramétrisation choisie.
Le vecteur normal à la sphère paramétrée par
est

= =
Le carré de la norme de N est égal à . Donc
.
En particulier, N est nul si l'angle varphi est égal à , c'est-à-dire au pôle. Il y a pourtant un plan tangent en ce point, mais il ne peut pas être défini avec la recette précédente avec ce paramétrage.

L'élément de surface est donc

car est positif entre -pi/2 et pi/2.

L'aire de la surface sur la sphère correspondant au quartier d'orange est
.
L'aire de la surface sur la sphère correspondant à est
.



L'aire de la surface sur la sphère correspondant à est
.
Par exemple l'aire de la sphère de rayon 1 est 4pi.

Aire d'une surface de révolution

On utilise les coordonnées cylindriques
L'aire pour est donnée par la formule
.

Intégrale de surface

Définition : Si calS est une surface paramétrée par (u,v) in calD mapsto f(u,v) in , on note
.
On définit l'intégrale de surface d'une fonction g: calS subset to RR comme

.

On peut démontrer que cette définition est bien indépendante du paramétrage choisi.
Exercice : Intégrale de surface d'une fonction

Flux à travers une surface

Définition : Soit F un champ vectoriel sur défini sur un ouvert U de . Soit calS une surface paramétrée contenue dans U et donnée par le paramétrage
calS: (u,v) in calD mapsto

L'intégrale de surface (ou flux) de F est donnée par

Ainsi, est ici une notation pour et est le produit scalaire de F et de .
Si est le vecteur normal unitaire, on a

Théorème : Le flux d'un champ à travers une surface ne dépend que du paramétrage de la surface à condition de conserver l'orientation, c'est-à-dire que le jacobien
Soit un changement de variables C1 d'un ouvert U de sur un ouvert V de , c'est-à-dire une application C1 bijective de U sur V telle que le déterminant
soit non nul. On dit encore que Psi est un difféomorphisme C1.
La matrice précédente est appelée matrice jacobienne.
Ce déterminant est appelé jacobien.
du changement de variables soit strictement positif.

Exemple de flux

Prenons pour calS une surface décrite par une équation explicite z = g(x,y). Soit F = (P , Q , R) un champ sur calS, alors

Prenons pour calS une portion de sphère unité : , Soit F = (P , Q , R) un champ sur calS, alors
= =
= + +
=

Exercices de calcul de flux

Exercices : Calculons le flux du champ F(x,y,z) = (x , y , 0) à travers la sphère calS paramétrée comme auparavant.
Ce champ est parallèle au plan x O y. On a
=
= =

Exercices :

Propriétés du flux

Théorème : Le d'un champ à travers une surface ne dépend que de la composante normale du champ à la surface, c'est-à-dire de la projection du champ sur la droite normale au plan tangent.

Exemple : Si F(M) est un vecteur du plan tangent en M pour tout point M de la surface, son flux à travers la surface est nulle.

Exercice : Propriétés du flux ou de la circulation . Cet exercice demande d'utiliser la propriété précédente. Attention, il alterne avec un exercice qui parle de circulation.

Théorèmes fondamentaux

Bord d'une surface

On généralise la formule de Green-Riemann (surfaces/courbes) à des surfaces qui ne sont plus planes .
Définition : Soit calD un domaine de de bord une courbe calC. Soit calS une surface paramétrée donnée par (u,v) in calD rightarrow f(u,v). On appelle bord de calS l'image de calC par f. On le note . On suppose que le bord de calD vérifie les hypothèses du théorème de Green et en particulier est bien orienté. On prend sur le bord de calS l'orientation qui se déduit de celle de .

Exemples

Théorème du flux-rotationnel

Théorème : Prenons calS comme dans la définition. Soit F un champ de vecteurs C1 à valeurs dans défini sur un ouvert U contenant calS = f(calD). Alors, le flux de à travers la surface calS est égal à la circulation de F le long du bord de calS :

Exemple : formule de Green-Riemann

Si la surface calS est un domaine dans un plan horizontal paramétré par
le vecteur normal est le vecteur et on a donc
=
On retrouve la formule de Green-Riemann.

Volumes et orientation

Pour énoncer la formule de Stokes ici, on considère des volumes de du type suivant :
ou
ou
où f1 et f2 sont des fonctions C1 par morceaux et où calD est un domaine du plan du même style ;
On les appellera "régions ou volumes simples fermés". Le bord est formé des morceaux suivants
Définition : On définit sur une région simple une orientation positive du bord en prenant en chaque point du bord la normale sortante, c'est-à-dire celle qui ne pointe pas à l'intérieur du volume.

Théorème de Stokes

Théorème : Soit calV une région solide simple et soit partialcalV le bord de calV orienté positivement, lisse par morceaux. Soit F un champ de vecteurs C1 sur un ouvert de contenant calV. Alors,
.

Cela généralise à la dimension 3 le théorème de Green

Conséquences du théorème de Stokes

Théorème : Soit V un volume simple dans dont le bord est une surface simple dans et F un champ de vecteurs défini sur un ouvert contenant V. Alors, si la divergence de F est nulle, le flux de F à travers S est nulle.
On peut appliquer ce théorème à des volumes dont le bord est "en deux morceaux" : par exemple, le volume compris entre une sphère de rayon r et une sphère de rayon R de même centre O avec r < R à condition de bien orienter la surface (même question qu'en dimension 2 où cela est plus facile à représenter). Dans le cas précédent, la normale est
Théorème : Soit V1et V2 deux volumes simples dans de bords orientés S1 et S2 "emboités" c'est-à-dire tels que . et F un champ de vecteurs défini sur un ouvert contenant V2. Alors, si la divergence de F est nulle, les flux de F à travers S1 et à travers S2 sont égaux.
On en déduit le théorème de Gauss :
Théorème : Si et si V1et V2 sont deux volumes simples dans de bords orientés S1 et S2 "emboités" c'est-à-dire tels que . les flux de F à travers S1 et à travers S2 sont égaux.

Exercices

Exercice : Pour ne pas confondre les différentes formules

Angle solide

Soit calS une surface et O un point tel que toute demi-droite passant par O ne coupe calS qu'en au plus un point.
Définition : L'angle solide sous calS vu de O est l'ensemble des demi-droites issues de O et coupant calS. Maintenant, si a est un réel strictement positif, soit S(a) l'intersection de la sphère de centre O et de rayon a et de l'angle solide . La mesure de l'angle solide est définie comme le quotient de l'aire de S(a) par a2 :
qui ne dépend pas de a.

On peut réinterpréter cette formule de la manière suivante : on remarque que
= ,
(sur la sphère, car le vecteur et le vecteur normal sont colinéaires).
Théorème : Soit calS une surface, O un point tel que toute demi-droite passant par O ne coupe calS qu'en au plus un point.
=

Démonstration
C'est une application du théorème flux/divergence :

Mesure de l'angle dans le plan

Soit omega un angle dans le plan de sommet O. Rappelons que l'on définit la mesure d'un angle omega de centre O comme
avec c(a) est l'arc de cercle de centre O et de rayon a intercepté par l'angle omega.
On peut réinterpréter cette longueur comme l'intégrale curviligne sur c(a) du champ de vecteurs F défini par
avec la notation personnelle que est le vecteur perpendiculaire obtenu en faisant subir à une rotation d'angle
Théorème : Soit calC une courbe et O un point tel que toute demi-droite issue de O coupe la courbe calC en au plus un point. Si omega(calC) est l'angle interceptant la courbe du point O, on a
Démonstration On utilise ici la formule de Green

Résumé


courbe bordée par des points dans RR =
courbe bordée par des points dans = )
courbe sans (points) bord dans = 0
domaine bordé par une courbe dans = ,
domaine bordé par une courbe dans =  
surface bordée par une courbe dans =  
surface sans bord dans = 0  
volume bordé par une surface dans =
   
volume bordé par une surface dans =  

Pour un volume sans bord, allez faire un tour dans ! et je n'ai pas pu représenter la boule à l'intérieur de la sphère...
élément d'aire dans dA dxdy
élément de volume dans dV dxdydz ( varphi l'angle de avec x O y)
élément curviligne dans (dx,dy,dz)
élément de longueur sur une courbe
élément d'aire dans
élément de surface dans

document d'introduction aux surfaces en vue de la formule de Stokes.
: stokes_thm, Green, tangent_plane, normal_vector,parametric_surfaces,surfaces, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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