Gradient

Objectifs

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J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)

Guide

Exemples concrets de fonctions de plusieurs variables

Dans la vie, ce sont les fonctions d'une variable qui sont rares et les fonctions de plusieurs variables fréquentes ! Pour se faciliter la vie, celui qui modélise prétend que certaines sont des paramètres et d'autres des variables. Ce qui "signifie" qu'il va faire comme si certaines des variables étaient constantes.

Donnons quelques exemples :

Exemples : la température, la pression comme fonction de la position sur une carte : fonction de deux variables x et y

l'altitude en un point d'une carte : fonction de deux variables x et y

la température, la pression en chaque point d'une pièce (en trois dimensions) : fonction de trois variables x, y et z

le volume d'une boîte en fonction de la hauteur, de la largeur et de la profondeur : fonction de trois variables H et L et l.

votre moyenne sur WIMS en fonction du temps et de la feuille d'exercice : fonction de deux variables t et n (mais ici heureusement la variable n est une variable dite discrète (un entier) et pas continue (dans RR)

On parle en physique de champ scalaire : scalaire vient du fait que l'image est contenue dans les scalaires RR, champ vient de ce que le domaine de définition est dans .

Exercices : Champ scalaire

Dérivées partielles

Exercices de calcul de dérivées partielles

On notera les dérivées partielles d'une fonction d'une des manières suivantes : Si f est une fonction de deux variables (x,y), la dérivée partielle de f par rapport à x est notée indiféremment
De même,
Ensuite :
, ,

Avant de commencer, il faut savoir calculer des dérivées partielles, nous proposons donc d'abord ici des exercices de technique.

Exercices :

Gradient

Définition du gradient

Soit une fonction de 3 variables. On lui associe un champ de vecteurs appelé champ de gradient et noté grad f ou nabla f :

En posant M=(x,y,z) ,

grad .
Exercice

Autres notations :

Dérivée directionnelle

Soit u un vecteur de et M0 un point de : on a alors
Ce qui donne une interprétation de grad :

Soit u un vecteur unitaire de . On appelle dérivée directionnelle de f dans la direction u au point M0 (ou encore la dérivée partielle de f dans la direction u au point M0) le nombre
.

Si la direction est donnée par un vecteur qui n'est pas unitaire, il faut le rendre unitaire en le divisant par sa norme :

.
Propriété : La dérivée directionnelle est de norme maximale dans la direction du gradient et la direction dans laquelle la fonction f croît le plus vite est la direction du gradient.

Démonstration

Si u et v sont deux vecteurs d'angle s, on a l'égalité
Ainsi,
et l'égalité a lieu si et seulement si les vecteurs u et v sont colinéaires. En particulier, si u est un vecteur unitaire,
et est égal à (et donc maximal) si u est colinéaire au gradient de f en M0.

Exercices

Exercice : Dérivées directionnelles

Exercice : Gradient et croissance de la fonction

Approximation

Approximation linéaire

Définition : Soit f une fonction de deux variables (x , y) définie au voisinage d'un point M0 = (x0 , y0). On dit que la fonction affine est une approximation linéaire ou plus exactement affine de f au point M0 = (x0 , y0) si l'on peut écrire

avec des fonctions et tendant vers 0 lorsque .
De manière équivalente, on peut aussi dire que la limite de tend vers 0 lorsque .

On dit que l'on a linéarisé f au voisinage de M0 : pour certains problèmes, on "peut" remplacer f par son approximation linéaire.

Lorsqu'on regarde la surface S d'équation z = f(x , y), si a + bx + cy est l'approximation affine de f en M0, l'équation z = a + bx + cy définit un plan dans qui est le plan tangent à la surface S en M0. Cela sera revu dans le chapitre sur les surfaces.

Exercice : Trouver l'approximation linéaire d'une fonction

Differentiabilité

Définition : Soit f une fonction de 2 variables (x , y) définie au voisinage d'un point M0 = (x0 , y0). On dit que f est différentiable si f admet une approximation linéaire.

Théorème : Si f est une fonction de classe
On dit qu'une fonction définie sur un ouvert de RR2 est de classe C1 si elle est continue et admet des dérivées partielles premières continues
C1 dans un voisinage de M0, f est différentiable et son approximation linéaire est donnée par

f(M0) + D1(f)(M0)(x - x0) + D2(f)(M0)( y - y0)

Autrement dit :

où varepsilon est une fonction de (x , y) définie au voisinage de (x0 , y0) telle que

.

où et sont des fonctions de (x , y) définies au voisinage de (x0,y0) telle que

, .

Avec des notations différentes que l'on utilisera par la suite,

f(x , y)=D1(f)(x0,y0)(x-x0)+ D2(f)(x0,y0)(y-y0)

où varepsilon est une fonction de (x , y) définie au voisinage de (x0 , y0) telle que

.

où varepsilon est une fonction de M définie au voisinage de M0 telle que

.

Estimation d'erreurs

On rencontre couramment en physique le problème suivant : On a une quantité A, fonction connue des quantités a,b... Ayant fait des mesures des quantités a,b, avec une certaine incertitude, on se demande avec quelle incertitude est connue A. Mathématiquement, on dispose des objets suivants On calcule Quelques exemples tirés de la physique :

Quelques exemples tirés de la physique

Calculs d'erreur

Exemple : La mesure du rayon d'un disque donne cm. Calculer la surface S du disque, ainsi que les incertitudes de la mesure (erreur absolue et erreur relative).

Solution

Plaçons nous dans le cadre mathématique : il s'agit de trouver la fonction qui est ici une fonction d'une variable
  • La fonction f=S définie par S(x)=pi x2
  • Le point M0 : M0= 7
  • L' intervalle I : par exemple
  • Le point mesuré M1 : un point x1 de l'intervalle
  • L'approximation numérique au point M0 : S(7)= 153.93804
  • La majoration de l'erreur : il s'agit
    Soit f une fonction C1 définie sur un intervalle I de RR centré en x0, défini par . Alors, si x1 est un point de I, on a la majoration suivante :
    avec A un majorant de sur I.
    de majorer sur l'intervalle I par exemple :
La réponse est donc que la surface du disque est égale à 153.93cm 2 à cm 2 près et que l'erreur relative est de qui est inférieure à 13 % .

Calculs d'erreur

Exemple : La mesure des côtés d'un rectangle donne cm et cm. Calculer la surface S du rectangle, ainsi que les incertitudes de la mesure (erreur absolue et erreur relative).

Solution

Plaçons-nous dans le cadre mathématique : il s'agit de trouver la fonction, le rectangle ...
  • La fonction f=S : définie par S(x,y)=x y
  • Le point M0 : M0= (7,19)
  • Le rectangle R : par exemple
  • Le point mesuré M1 : un point (x1,y1) du rectangle, c'est le point que l'on est en train de mesurer
  • L'approximation numérique au point M0 : S(7,19)= 133
  • La majoration de l'erreur : il s'agit
    Soit f une fonction C1 définie sur un rectangle R de centré en M0, défini par , . Alors, si M1 est un point de R, on a la majoration suivante :
    avec A un majorant de sur R et B un majorant de sur R.
    de majorer sur le rectangle R , par exemple :
La réponse est donc que la surface du rectangle est égale à 133cm 2 à cm 2 près et que l'erreur relative est de qui est inférieure à 4 % .

Calcul d'erreurs

Exemple : Un sac contient 2.8 kg g de bonbons. Pour estimer le nombre de bonbons présents dans le sac, on pèse un bonbon au hasard et on obtient 16 g g . On suppose que tous les bonbons sont identiques. Calculer le nombre total de bonbons avec l'incertitude absolue et relative.

Solution

Plaçons-nous dans le cadre mathématique : il s'agit de trouver la fonction, le rectangle ...
  • La fonction f=N : définie par
  • Le point M0 : M0= (2800,16)
  • Le rectangle R : par exemple
  • Le point mesuré M1 : un point (x1,y1) du rectangle, c'est le point que l'on est en train de mesurer
  • L'approximation numérique au point M0 : N(2800,16)= 175
  • les dérivées partielles de f : , :
  • La majoration de l'erreur : il s'agit
    Soit f une fonction C1 définie sur un rectangle R de centré en M0, défini par , . Alors, si M1 est un point de R, on a la majoration suivante :
    avec A un majorant de sur R et B un majorant de sur R.
    de majorer sur le rectangle R par exemple :
La réponse est donc que le nombre de bonbons est égale à 175 à pm 16.01 près et que l'erreur relative est de qui est inférieure à 10 % .

Calcul d'erreurs

Exemple : L'indice d'un milieu transparent à la lumière est . Calculer l'incertitude relative commise sur n en fonction de i, r et des incertitudes de mesures sur r et sur i pour i=65 degrés, r=30 degrés avec des incertitudes de mesure de 5 minutes d'angle.

Solution

Plaçons nous dans le cadre mathématique : il s'agit de trouver la fonction, le rectangle et il ne faut pas oublier de convertir les degrés et les minutes en radians.
  • La fonction f=n : définie par
  • Le point M0 : M0= (1.134,0.523)
  • Le rectangle R : par exemple
  • Le point mesuré M1 : un point (x1,y1) du rectangle, c'est le point que l'on est en train de mesurer
  • L'approximation numérique au point M0 : f(1.134,0.523)= 1.8141049
  • Les dérivées partielles : ,
  • La majoration de l'erreur : il s'agit
    Soit f une fonction C1 définie sur un rectangle R de centré en M0, défini par , . Alors, si M1 est un point de R, on a la majoration suivante :
    avec A un majorant de sur R et B un majorant de sur R.
    de majorer sur le rectangle R par exemple un majorant est (autour des points 1.134 et 0.523, la fonction sinus est croissante et la fonction cosinus est décroissante)
    leq 0.01 )
La réponse est donc que l'indice est égal à 1.562 à près et que l'erreur relative est de qui est inférieure à 1 % .

Calculs d'erreurs

Exemple : Au minimum de déviation Dm, l'indice n d'un prisme d'angle au sommet d'angle A est donné par . Calculer l'incertitude relative de l'indice en prenant Dm=59 degrés, A= 38 degrés, incertitude sur Dm = 0.15 degrés, incertitude sur A= 0.02 degrés.

Solution

Plaçons-nous dans le cadre mathématique : il s'agit de trouver la fonction, le rectangle ...
  • La fonction f=n : définie par
  • Le point M0 : M0= (1.029,0.663) : les angles en degrés sont convertis en radians.
  • Le rectangle R : par exemple
  • Le point mesuré M1 : un point (x1,y1) du rectangle, c'est le point que l'on est en train de mesurer
  • L'approximation numérique au point M0 : f(1.029,0.663)= 2.3002228
  • Les dérivées partielles :
    ,
  • La majoration de l'erreur : il s'agit
    Soit f une fonction C1 définie sur un rectangle R de centré en M0, défini par , . Alors, si M1 est un point de R, on a la majoration suivante :
    avec A un majorant de sur R et B un majorant de sur R.
    de majorer sur le rectangle R par exemple un majorant est (autour des points 1.029 et 0.663, la fonction sinus est croissante et la fonction cosinus est décroissante)
La réponse est donc que l'indice est égal à 2.3 à près et que l'erreur relative est de qui est inférieure à 11 % .

Approximation numérique

Supposons que l'on connaisse l'approximation linéaire de la fonction f en (x0,y0). Pour calculer une approximation du nombre f(x1,y1) avec (x1,y1) proche de (x0,y0), on peut utiliser cette approximation linéaire A.

Exemple : L'approximation affine en (0,0) de la fonction définie par
f(x,y)=
est NaN+(NaN) x+(NaN) y. Une approximation de f(-0.015,0.012) est donc NaN obtenue en évaluant en x= -0.015 et y=0.012. La "vraie" valeur de f(-0.015,0.012) ou plutôt une meilleure approximation est NaN.

Mais sans autre précision, on ne peut pas connaître l'erreur commise, c'est-à-dire une majoration de la différence (en valeur abolue) entre f(x1,y1) et A. Ce problème a déjà été rencontré dans le cas des fonctions d'une variable.

Dans ce cas là, cette erreur est majorée par pour I un intervalle contenant x0 et x1 (application de la formule de Taylor-Lagrange),

Dans le cas de deux variables, on utilise aussi une formule de Taylor-Lagrange qui fait intervenir les dérivées partielles d'ordre 2.
Soit f une fonction de classe C2 sur une boule (ou un rectangle) B de centre M0. Alors, si (x,y) est un point de B, il existe tel que
f(M)=f(M0) + D1(f)(M0)(x-x0)+ D2(f)(M0)(y-y0)+ +

Idée de la démonstration

La formule se montre à partir de la formule pour une fonction à une variable donnée par
On a alors g(0)=f(M0) et g(1)=f(M).

On en déduit que

Soit f une fonction C2 définie sur un rectangle B de centré en M0, défini par , . Alors, si a+bx+cy est l'approximation linéaire de f(M)=f(x,y) au point M0, on a la majoration suivante et si M1 est un point de B :
avec U un majorant de sur B, V un majorant de sur B, W un majorant de sur B.

Exemples

Gravitation et approximation

Cet exemple concerne en fait une fonction d'une variable. Reprenons un énoncé de physique :
Exercice : A la surface de la terre, la norme du champ de gravitation est
où G est la constante de gravitation, M la masse de la terre et R le rayon de la terre. A l'altitude z, on a
Si z<<R, donner en fonction de z0, z et R une expression approchée de en utilisant un développement limité au second ordre en (ou plutôt la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2). Calculer l'erreur relative.

Une solution

Posons . On a

Le développement limité de (1+u)-2 à l'ordre 2 est
(1+u)-2= 1-2u+3u2 +o(u2)
Une expression approchée gapp de g est
Quelle erreur a-t-on fait ? Grossièrement, on peut dire qu'elle est de l'ordre de . Soyons précis. Montrons que si f(u)=(1+u)-2 et si u>0 ,
Preuve

Par la formule de Taylor-Lagrange (ou par l'inégalité de Taylor-Lagrange), on a l'inégalité

avec f(u)=(1+u)-2. On calcule la dérivée troisième de f :
,
Pour u>0 , on a et

En revenant à notre problème initial, pour

Si l'on considère l'approximation satisfaisante lorsque l'erreur relative est inférieure à 1%, l'altitude maximum admissible est h vérifiant c'est-à-dire km avec le rayon de la terre R égal à 6380 km.

Exercice : Approximation linéaire

Exercice : Trouver l'approximation linéaire d'une fonction

Courbes de niveau

Courbes de niveau

Définition : Soit f une fonction définie sur un ouvert U de . On appelle courbe de niveau de f associée au réel k l'ensemble des points (x,y) de U vérifiant f(x,y)= k. Cet ensemble est éventuellement vide.

Si l'on coupe la surface d'équation z=f(x,y) dans par le plan "horizontal" z=k, et que l'on projette la courbe obtenue dans le plan xOy, on obtient la courbe de niveau k d'équation f(x,y)=k.

On dessine les courbes de niveau de f pour des valeurs de k de la forme k0, k0+ s, k0+ 2s, k0+ 3s, ... On dit alors qu'elles sont équiréparties.

Un exemple : Courbes de niveau de la fonction f définie par f(x,y)= pour :
.

En utilisant l'outil Tracé de la surface , comparer le dessin en 3D avec le dessin des courbes de niveau. Vous pouvez aussi une fois la fenêtre de tracé ouverte rajouter l'équation du plan horizontal dont vous désirez voir la section avec la surface : z= ?

D'autres exemples

D'autres exemples plus compliqués

Exemples

Exemple : Courbes de niveau de la fonction f définie par
f(x,y)=
pour :
.

En utilisant l'outil Tracé de la surface , comparer le dessin en 3D avec le dessin des courbes de niveau. Vous pouvez aussi une fois la fenêtre de tracé ouverte rajouter l'équation du plan horizontal dont vous désirez voir la section avec la surface : z= ?

Courbes de niveau et surfaces

Courbes de niveau de la fonction
pour :
.

En utilisant l'outil Tracé de la surface , comparer le dessin en 3D avec le dessin des courbes de niveau. Vous pouvez aussi une fois la fenêtre de tracé ouverte rajouter l'équation du plan horizontal dont vous désirez voir la section avec la surface : z= ?

Exercices

Exercices : Faire le lien entre représentation graphique d'une fonction de 2 variables (c'est-à-dire la représentation de la surface z=f(x,y)) et les courbes de niveau de f.

Dans les exercices suivants, la fonction est une fonction des coordonnées polaires du plan . Cela arrive très naturellement. Par exemple, dans les problèmes de , chimie atomistique,
en fait, il s'agit alors de fonctions de trois variables exprimées en coordonnées sphériques
la fonction est même le produit d'une fonction de r par une fonction de theta : . On demande de faire le lien entre les courbes de niveau , représentées dans le plan xOy et les fonctions R et Theta.

Exercice : Reconnaître une fonction par sa représentation graphique :

Tangente aux courbes de niveau

Théorème : Soit f une fonction C1 sur un ouvert U de et M0 un point de U avec f(M0)=k. On suppose que le gradient de f est non nul en M0. La tangente en M0 à la courbe d'équation f(x,y)=k a comme équation
grad
ou encore
D1(f)(x0,y0)(x-x0)+ D2(f)(x0,y0)(y-y0)=0

Démonstration

Nous ne donnons ici qu'une idée de la démonstration en supposant que localement la courbe d"équation f(x,y)=0 peut être paramétrée, c'est-à-dire qu'il existe deux fonctions c1 et c2 d'un intervalle ouvert I contenant 0 dans U telles que
  • M0=(c1(0),c2(0))
  • f(c1(t),c2(t))=0 pour
En dérivant l'équation f(c1(t),c2(t))=0 par rapport à t, on obtient
c1'(t) D1(f)( c1(t),c2(t))+ c2'(t) D2(f)( c1(t),c2(t))=0
Prenons la valeur en t=0 :
c1'(0) D1(f)(M0)+ c2'(0) D2(f)(M0)=0
Le vecteur grad f(M0) est donc normal au vecteur (c1'(0), c2'(0)). Or ce vecteur est le vecteur dérivé de la courbe paramétrée (c1,c2) et appartient donc à la tangente à la courbe en M0.

Exercice : Vérifier que si C est la courbe d'équation y= g(x), on retrouve l'équation usuelle de la tangente (prendre f(x,y)= y-g(x)).

Exercice: Equation de la droite tangente à l'ellipse (x-5)2+4(y-7)2=1 au point M0=(a,b) supposé appartenir à l'ellipse.

(a-5)(x-a)+4(b-7)(y-b) =0

Tangente, normale et gradient

Propriété : Les courbes de niveau d'une fonction f sont perpendiculaires au gradient de f.

Démonstration

La droite tangente à la courbe d'équation f(x,y)=k au point M0=(x0,y0) avec f(x0,y0)=k admet comme équation
grad
lorsque grad ; autrement dit
et la tangente en M0 est perpendiculaire au vecteur grad f(M0) (c'est une droite affine à propos).

Exercice : Gradient, tangente et normale

Et lorsque le gradient est nul ?

Exemple : Courbes de niveau de la fonction f définie par
f(x,y)=
pour :
.

Lorsque k=0,
grad = ( , )
est nul au point (0,0) et on ne peut donc pas définir de tangente à la courbe en ce point à l'aide du gradient.

Que peut-on faire ? On peut quand même deviner qu'il y a des tangentes à la courbe.

Supposons qu'il existe une courbe paramétrée C c=(c1,c2), C1 définie sur un intervalle I ouvert contenant 0 et telle que f(c1(t),c2(t))=0 pour et M0= (c1(0),c2(0)). Cherchons ce que l'on peut dire du vecteur tangent à C. En dérivant l'équation, on obtient

c1'(t) D1(f)( c1(t),c2(t))+ c2'(t) D2(f)( c1(t),c2(t))=0
Prenons la valeur en t=0 : on obtient 0=0.

Dérivons-la de nouveau

c1''(t) D1(f)( c1(t),c2(t))+ c2''(t) D2(f)( c1(t),c2(t)) +
Prenons la valeur en t=0 :
Ce qui donne une équation pour les composantes des vecteurs dérivés u=(u1,u2) possibles au moins si une des dérivées secondes est non nulle en M0.
Ici, on obtient
, =, = et NaN u12+2NaN u1 u2+NaN u22=0

Pour mieux comprendre en appliquant :

Exercice sur les courbes paramétrées et les équations implicites de courbes

Gradient et courbes de niveau

Les variations de la norme du gradient peuvent se deviner sur le dessin des courbes de niveau équidistribuées. Ainsi, sur une carte géographique, les endroits pentus sont ceux où les lignes de niveau sont très rapprochées.

Exercice : comparaison du gradient en deux points

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