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Estimation statistique
Estimation statistique
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 6 exercices sur quelques estimateurs classiques. Certains exercices peuvent être abordés dans un cours portant sur les probabilités discrètes.
Suivant le niveau de difficulté choisi,
les questions des exercices
"Convergence d'estimateurs" et "Estimateurs pour un échantillon gaussien"
portent sur une classe plus ou moins grande d'estimateurs.
la formulation de la seconde
question de l'exercice "Répartition poissonnienne" est différente.
Convergence d'estimateurs
Soit
une variable aléatoire dont la loi est définie par le tableau suivant :
Soit
une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que
. Lorsque
tend vers
, la variable aléatoire
converge avec probabilité 1 vers une constante. Quelle est la valeur de cette constante ?
Estimateurs pour un échantillon gaussien
Soit
un -échantillon de variables aléatoires de loi normale, d'espérance
= et de variance
.
On pose
.
Calculer la probabilité que
Estimateurs empiriques
On a répété une expérience aléatoire dans les mêmes conditions fois. Le résultat d'une expérience est décrit par une variable aléatoire
à valeurs dans {}. On dispose donc de réalisations de la variable aléatoire
. Le tableau suivant donne le nombre de fois où chaque valeur a été observée au cours de ces expériences :
Déterminer la valeur observée de .
Répartition poissonnienne
On a représenté la position d'abeilles dans un champ de colza en fleur divisé en parcelles de m de côté. Le nombre d'abeilles observées dans chaque parcelle est reporté sur le carré de droite pour plus de clarté.
On modélise le nombre d'abeilles dans chaque parcelle par des variables aléatoires
indépendantes et de loi de Poisson de paramètre
inconnu.
1- Afin d'obtenir le diagramme en bâtons de la loi empirique de ces observations, compléter le tableau suivant :
Abscisse des bâtons
Hauteurs des bâtons
Bonne réponse! Voici le diagramme de la loi empirique :
2-
Quelle est la valeur de l'estimateur empirique de l'espérance de
?
Si on estime
par la
quelle est la valeur de l'estimateur de
pour ces observations ?
Fonction de répartition empirique
Le graphe ci-dessous représente la fonction de répartition empirique de observations obtenues en répétant fois la même expérience dans les mêmes conditions.
En déduire le nombre d'observations qui valent .
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Description: collection d'exercices sur quelques estimateurs classiques en statistiques. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, mathematics, statistics, estimation,expectation, standard_deviation, rv_convergence, normal_distribution, poisson_distribution
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