Doc Polyèdres convexes semi-réguliers
Sommaire
Ce document rédigé pour les étudiants de la
licence scientifique générale (L3 pour des futurs professeurs des écoles à l'université Paris-Sud)
accompagne une partie du cours de géométrie basé sur l'ouvrage de Daniel Perrin :
Mathématiques d'école : nombres, mesures et géométrie publié par Editions Cassini (402 p. ISBN 978-2-84225-158-1)
. On y fait référence par ME.
ME exercice 187, 185 renvoie à l'exercice 187 de la nouvelle édition, 185 de la première. De même pour les pages ou les propositions.
ME VI.1. renvoie à la partie 1 du chapitre 6.
Le but de ce document est de décrire les polyèdres convexes semi-réguliers.
Dans le problème I de [ME.IX] (page 292, 283 ; corrigé page 388, 374),
on montre que les polyèdres décrits ici sont les seuls satisfaisant à la définition.
- Polyèdres convexes
- Les polyèdres réguliers ou solides de Platon.
-
Les polyèdres semi-réguliers
-
Exercices de synthèse
-
Index des polyèdres
-
Références
Pour voir un polyèdre, cliquez sur son nom et soyez patient.
Les figures mobiles utilisées pour illustrer ce document sont issues de
l'
outil polyèdres
créé par Bernadette
Perrin-Riou sans lien de parenté avec le précédent
.
Définitions et premières propriétés.
Nous rappellons ici les définitions et les résultats
présentés dans [ME.IX.1 et 2].
Définition : Polyèdre convexe
- On appelle polyèdre convexe un solide (plein) P
vérifiant les propriétés suivantes :
- P est l'intersection d'un nombre fini de demi-espaces fermés
Ei limités par des plans
H1,
H2 ...,
Hn (on prendra un système minimal)
- P est borné
- P n'est pas contenu dans un plan
- Les faces d'un polyèdre convexe sont les intersections de P avec les plans frontières
Hi. Leur réunion est la frontière de P.
Les faces sont des polygones plans convexes dont les côtés sont les
arêtes du polyèdre et dont les sommets sont les sommets du polyèdre.
Exercice : Explicitez cette définition pour un cube, une pyramide.
Propriétés
- Le nombre de côtés d'une face est au moins 3.
- Le nombre d'arêtes aboutissant en un sommet est égal au nombre de faces
aboutissant en ce même sommet et ce nombre est au moins 3.
- Une arête est commune à deux faces exactement et joint deux sommets.
-
Règle de la somme des angles
-
Formule d'Euler
Règle de la somme des angles
Patron d'un sommet
On appellera patron du sommet A du polyèdre P
une figure plane de toutes les faces aboutissant en A obtenue après découpage selon une arête
aboutissant en A et mise à plat.
Voici le patron d'un sommet de cube :
Aidez vous d'un tel patron pour visualiser la règle de la somme des angles.
Règle de la somme des angles
Si
A est un sommet de
P, la somme des angles (mesurés en degrés) en A
de toutes les faces aboutissant en A, est strictement inférieure à 360°.
Une démonstration de cette règle assez évidente visuellement est proposée dans l'annexe du chapitre IX [ME page 298, 280].
La somme des angles en un sommet de cube est 270°.
Formule d'Euler
Soit P un polyèdre convexe. On note s, a et
f ses nombres
de sommets, d'arêtes et de faces.
La formule d'Euler relie
s,
a et
f :
s - a + f = 2
Une démonstration de cette formule basée sur la formule de Girard est donnée en [ME.IX.2]
Pour un cube, on a : s = 8, a = 12 et f = 6.
Pour une pyramide à base pentagonale, on a : s = 6, a = 10 et f = 6.
Définition et possibilités
Nous rappellons ici les définitions et les résultats
présentés dans [ME.IX.3].
Définition : Polyèdre convexe régulier
On dit qu'un polyèdre P convexe est
régulier si les faces
de P sont des polygones réguliers ayant tous le même
nombre p de côtés et si en chaque sommet de P aboutissent
le même nombre q de faces (ou d'arêtes).
Notation : Un polyèdre
régulier est
caractérisé par la liste de ses faces (notées par
leurs nombres de côtés) en un sommet. On appellera symbole du polyèdre cette liste (voir la
définition générale du
symbole
). Par exemple, le
polyèdre dont toutes les faces sont des triangles qui se
groupent par 4 en chaque sommet se note (3,3,3,3) .
Histoire : Les polyèdres
convexes réguliers sont aussi
appelés solides de Platon (voir [ME.IX. Introduction])
Les possibilités
En respectant la
règle de la somme des angles
, combien peut-on mettre de triangles autour
d'un sommet d'un polyèdre régulier ?
Voici les patrons possibles pour un sommet entouré de triangles :
Combien peut-on mettre de carrés autour
d'un sommet ? de pentagones ?
Voici les patrons possibles pour un sommet entouré de carrés, de pentagones :
Combien peut-on mettre d'hexagones autour
d'un sommet ? d'heptagones ? ...
La somme des angles de trois hexagones, heptagones ... dépasse 360°. Donc les polyèdres réguliers ont des faces triangulaires, carrées ou pentagonales.
En résumé, il n'y a que cinq possibilités que nous étudions à la page suivante.
Les polyèdres réguliers
Autour d'un sommet d'un polyèdre régulier, on peut mettre 3, 4 ou 5 triangles, 3 carrés
ou 3 pentagones. Il y a donc 5 symboles possibles pour un polyèdre régulier.
En utilisant la
formule d'Euler
, on détermine à partir du
symbole
d'un polyèdre régulier (ou liste des faces en un sommet) le nombre
s de ses sommets,
a de ses arêtes,
f
de ses faces (voir démonstration de [ME.IX.3.3]). Ensuite, il reste à le construire. Le symbole
détermine complètement le polyèdre régulier et son nom dépend du nombre de ses faces :
Le polyèdre (3,3,3) est un
tétraèdre et possède 4
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Le polyèdre (3,3,3,3) est un
octaèdre et possède 8
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Le polyèdre (3,3,3,3,3) est un
icosaèdre et possède 20
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Le polyèdre (4,4,4) est un
cube ou hexaèdre et possède 6
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Le polyèdre (5,5,5) est un
dodécaèdre et possède 12
faces
(Le voir et le faire tourner)
.
Exercices :
-
Apprenez à les reconnaître !
-
Apprenez à écrire leur nom !
Dualité, nombres de sommets et d'arêtes
Si
P est un polyèdre régulier, imaginons le polyèdre
Q dont les sommets sont les centres des faces de
P : Le polyèdre
Q est régulier, on l'appelle dual de
P. Par exemple si
P est un cube,
Q est un octaèdre. Le dual de
Q est un homothétique de
P. Donc le dual d'un octaèdre est un cube. Le nombre de sommets de
Q est le nombre de faces de
P et réciproquement.
Connaître le dual d'un polyèdre régulier permet de retenir son nombre de sommets, le nombre de faces étant indiqué par le nom d'un polyèdre régulier, il suffit de connaître la formule d'Euler pour calculer le nombre d'arêtes. Evidemment, un polyèdre et son dual ont même nombre d'arêtes (
Les nombres de sommets et de faces étant échangés, la formule d'Euler donne le même nombre d'arêtes.
).
Le dual d'un tétraèdre est un tétraèdre, celui d'un cube un octaèdre, celui d'un docécaèdre est un icosaèdre.
| polyèdre |
dual |
tétraèdre
(3,3,3)
s=4 a=6 f=4
Voir son dual
|
cube
(4,4,4)
s=8 a=12 f=6
Voir son dual
|
octaèdre
(3,3,3,3)
s=6 a=12 f=8
Voir son dual
|
dodécaèdre
(5,5,5)
s=20 a=30 f=12
Voir son dual
|
icosaèdre
(3,3,3,3,3)
s=12 a=30 f=20
Voir son dual
|
Mémorisez les caractéristiques des polyèdres de Platon !
Les polyèdres semi-réguliers
Définition. [ME.IX.page 292, 283]
Un polyèdre semi-régulier est un polyèdre convexe dont
toutes les faces sont des polygones réguliers et tel qu'en chaque sommet
aboutissent le même nombre de faces de chaque type et dans le même ordre.
Un polyèdre régulier est semi-régulier.
Toutes les arêtes ont même longueur et les faces de même type sont isométriques.
Remarque : Pour se débarrasser de la
paire de faux jumeaux qui ont même
symbole
, il faudrait affiner la définition.
Mais, pour nos objectifs, cet énoncé suffit.
Symbole d'un polyèdre semi-régulier
Définition. [ME.IX. page 293, 284] On appelle symbole d'un polyèdre semi-régulier une suite des nombres de côtés des faces aboutissant en un sommet, dans l'ordre d'adjacence. On le note
(n1, n2, ...nq). Par permutation circulaire et retournement, on déduit d'un symbole tous les symboles possibles pour un polyèdre donné. Usuellement, on appelle le symbole du polyèdre semi-régulier celui parmi les symboles qui est le premier dans l'ordre lexicographique. En particulier
n1 est le nombre de côtés de la plus petite face.
On gardera ces notations tout au long de ce document :
q est le nombre de faces aboutissant en un sommet et
n1 est le nombre de côtés de la plus petite face. La
règle de la somme des angles
permet d'affirmer que
q et
n1 sont inférieurs ou égaux à 5.
L'ordre lexicographique est l'ordre utilisé pour ranger les mots dans un dictionnaire. On trie les mots par la première lettre, puis on range ceux qui ont la même première lettre par ordre de la seconde lettre ... Le grand rhombicuboctaèdre admet pour symboles rangés dans l'ordre lexicographique : (4,6,8), (4,8,6), (6,4,8), (6,8,4), (8,4,6), (8,6,4).
Le symbole détermine complètement la combinatoire d'un polyèdre, c'est-à-dire les nombres de ses sommets, arêtes et faces de chaque type (voir
ici
pour un exemple).
On ne cherche pas à démontrer que le symbole détermine un polyèdre semi-régulier à similitude près.
Si on ajoute à la définition d'un polyèdre semi-régulier une condition du type "tous les sommets sont pareils", le symbole détermine le polyèdre semi-régulier à similitude près, sinon on trouve deux polyèdres différents de symbole (3,4,4,4)(cherchez les différences).
Exemple : Le symbole d'un
prisme droit régulier pentagonal
est
(4,4,5). Celui d'un
cuboctaèdre
est (3,4,3,4).
Exercice :
Symbole d'un polyèdre
Règle de parité
La règle de parité
Quand le
symbole
d'un polyèdre semi-régulier,
non régulier, est
(
n1,
n2,
n3)
(c'est-à-dire dans le cas
q=3), soit les
ni sont tous pairs, soit l'un est impair et les deux autres pairs et égaux.
Démonstration : Indiquer le nombre de côtés des faces autour des sommets d'une face à nombre impair de côtés
(voir [ME page 389, 375]).
Les symboles possibles
Dans le problème "Les polyèdres archimédiens" ([ME page 292, 283]), on recherche les symboles possibles pour des polyèdres semi-réguliers en s'appuyant sur la
règle de la somme des angles
, la règle de parité et d'autres raisonnements du même type et on montre qu'il en existe au plus 13 en plus des 5
polyèdres réguliers
, des
prismes et antiprismes
. Pour montrer qu'à chacun de ces 13 symboles correspond un polyèdre semi-régulier, il suffit de construire celui-ci. Dans la suite, on verra comment la plupart s'obtient simplement à partir des polyèdres réguliers et on dressera la liste de tous les polyèdres semi-réguliers.
Définition : Les 13 polyèdres semi-réguliers (non réguliers) et les 5 réguliers s'appellent les 18 polyèdres archimédiens.
Exercice 1 : Utiliser la règle de la somme des angles et la règle de parité pour faire la liste des seuls symboles possibles vérifiant :
q=3 et
n1=3. Même exercice avec
n1=4, puis
n1=5.
On verra dans la suite de ce document qu'il existe pour chacun de ces symboles un polyèdre semi-régulier.
Exercice 2 : Par un raisonnement analogue à la démonstration de la règle de parité, montrer que, dans les symboles de la forme
(3,n2,3,n4) avec
, les entiers
n2 et
n4 sont nécessairement égaux et déterminer tous les symboles de ce type.
Prismes et antiprismes
[ME.IX. page 294, 285]
On appelle prisme régulier un prisme droit de base un
polygone régulier à
n côtés (
) et à faces latérales carrées.
C'est un polyèdre semi-régulier de symbole (3, 4, 4) si
n vaut 3 et (4,4,n) sinon.
Pour
n = 4, le prisme régulier est un cube.
Un antiprisme de base un polygone régulier à
n côtés (
)
est un polyèdre semi-régulier de symbole
(3, 3, 3, n).
|
Un prisme régulier a
2n sommets,
3n arêtes
et pour faces :
n carrés et 2 polygones à
n côtés.
Voici un prisme à base hexagonale :
|
Un antiprisme a
2n sommets,
4n arêtes et pour faces :
2n triangles et 2 polygones à
n côtés.
Voici un antiprisme à base pentagonale :
|
Tronquer un polyèdre
Pour obtenir un nouveau polyèdre
à partir d'un polyèdre
donné,
on peut considérer un polyèdre
dont les sommets sont sur les arêtes du polyèdre
, c'est-à-dire à tronquer
.
Définition. Tronquer un polyèdre semi-régulier consiste
à retirer à ce polyèdre en chaque sommet une
même pyramide (on fait la même opération en chaque sommet pour garder une chance d'obtenir un polyèdre semi-régulier)
. Plus précisément, on enlève au sommet
S
du polyèdre la pyramide de sommet
S et de base le polygone
où,
pour tout
,
Aj est un point de la
j-ième arête aboutissant en
S.
On a coupé le polyèdre selon le plan contenant les points
.
Le sommet
S est donc remplacé par la face
.
Remarques :
- Des
conditions
sont imposées au polyèdre à tronquer pour obtenir un polyèdre semi-régulier.
- Dans le document
DOC Polygones convexes réguliers
, on explique comment tronquer un polygone régulier
pour obtenir un nouveau polygone régulier. C'est la première opération à faire en chaque face pour que le polyèdre tronqué
ait encore des faces régulières.
Exemple :
Tronquer un cube
Définition. Rectifier un polyèdre
consiste à le tronquer au milieu de chaque arête.
Tronquer un cube
Vous pouvez faire bouger le point P entre M et B. Les faces roses sont les bases des pyramides retirées.
Les octogones verts sont les faces qui remplacent les faces du cube. Si P est en M,
on obtient un
cuboctaèdre
. Si P est en Q, on obtient un
cube tronqué
.
Les polyèdres archimédiens
Nous allons maintenant énumérer les
polyèdres archimédiens
.
Nous ne justifions pas toutes nos affirmations mais nous nous attachons
à décrire les polyèdres pour aider l'imagination. Nous avons choisi de
les classer en trois familles qui correspondent à la valeur de
q,
le nombre d'arêtes aboutissant en un sommet, mais aussi à la façon de
les obtenir par troncature à partir des polyèdres réguliers.
- Rectification : un sommet au milieu de chaque arête.
- Troncature : Deux sommets par arête.
-
Les adoucis
(q=5)
Les premiers exercices de chaque partie permettent de visualiser les polyèdres
ainsi construits en les repérant par leurs symboles.
Un sommet au milieu de chaque arête
Méthode de rectification
On considère un polyèdre
semi-régulier tel que de part et d'autre de chaque arête,
on ait une face à
n1 côtés et une face à
n2 côtés.
On verra que les seuls polyèdres semi-réguliers qui vérifient cette hypothèses sont les polyèdres réguliers, le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre.
On considère le polyèdre
dont les sommets sont les milieux des arêtes de
,
c'est-à-dire qu'on coupe le polyèdre
en chaque sommet selon un plan passant au milieu des arêtes. On dit que
est le rectifié de
.
Soit
[RS] une arête de
et
M son milieu.
Les faces de
aboutissant en M sont au nombre de 4 :
- une face polygone régulier à
n1 côtés tracée sur la face à
n1 côtés de
(mais plus petite),
- une face correspondant au sommet
R donc à
q côtés (si on est assuré que les milieux des
q arêtes de
sont dans un même plan),
- une face polygone régulier à
n2 côtés tracée sur la face à
n2 côtés de
(mais plus petite),
- une face correspondant au sommet
S donc à
q côtés.
Et chaque sommet de
(milieu d'une arête de
) présente le même aspect du fait de l'hypothèse. Ainsi le symbole de
est
(q,n1,q,n2) à permutation circulaire près.
Voici la méthode appliquée au patron du sommet d'un octaèdre :
Les faces triangulaires bleues sont portées par les faces de l'octaèdre. Les faces carrées orange sont les bases des pyramides ôtées.
Combinatoire du polyèdre rectifié.
Le polyèdre
, rectifié de
, a
a sommets (un par arête de
),
autant de faces à
n1 ou
n2 côtés que
,
s faces à
q côtés et
2a arêtes puisque par la
formule d'Euler
, on a
a'=s'+f'-2=a+f+s-2=2a.
Quel résultat ?
Dans le cas où
est régulier,
n1 et
n2 sont égaux, notons
n leur valeur commune.
Alors les faces à
q côtés de
correspondant aux sommets de
sont des polygones réguliers.
Le polyèdre
est semi-régulier et son symbole est
(q, n, q, n) à permutation circulaire près.
Dans le cas où
est semi-régulier sans être régulier,
Le polyèdre
n'est pas semi-régulier, en effet ses faces à
q côtés, bases des pyramides ôtées, ne sont pas régulières. Pourtant il existe un polyèdre semi-régulier de même combinatoire (même symbole, mêmes nombres
s,
a et
fk), appelé petit rhombi...
Cuboctaèdre et compagnie
Les polyèdres obtenus par la
rectification
vérifient
q=4.
Et ce sont les seuls avec les
antiprismes
et l'octaèdre obtenu
par rectification du tétraèdre. La rectification de deux polyèdres réguliers duaux
donne le même polyèdre semi-régulier.
| Polyèdres réguliers |
Polyèdres semi-réguliers
un sommet au milieu de chaque arête |
(3,3,3) Tétraèdre régulier
4s 6a 4 triangles |
(3,3,3,3) Octaèdre |
(4,4,4) Cube
8s 12 a 6 carrés |
(3,4,3,4)
Cuboctaèdre
12s 24a 6 carrés et 8 triangles |
(3,3,3,3) Octaèdre
6s 12a 8 triangles |
(5,5,5) Dodécaèdre
20s 30a 12 pentagones |
(3,5,3,5)
Icosidodécaèdre
30s 60a 12 pentagones et 20 triangles
|
(3,3,3,3,3) Icosaèdre
12s 30a 20 triangles |
Les petits Rhombi...
On peut
rectifier
un cuboctaèdre ou un isosidodécaèdre. Les polyèdres obtenus ne sont pas semi-réguliers mais le petit rhombicuboctaèdre
et le petit rhombicosidodécaèdre sont les polyèdres semi-réguliers de même combinatoire :
Le
petit rhombicuboctaèdre
a pour
symbole (3,4,4,4). Il a 24 sommets, 48 arêtes et pour faces 8 triangles et 18 carrés.
Le
petit rhombicosidodécaèdre
a pour symbole (3,4,5,4). Il a
60 sommets, 120 arêtes et pour faces 20 triangles, 30 carrés et 12 pentagones.
Exercice :
Sommets au milieu des arêtes
Deux sommets par arête
Tronquer un polyèdre régulier
Soit un polyèdre régulier
admettant s sommets, a arêtes et f faces à n côtés.
Considérons deux points sur chaque arête de
posés de sorte que sur chaque face de
le polygone de sommets les nouveaux points soit régulier (
comment ?
).
Il a donc 2n côtés. Le polyèdre
dont les sommets sont les nouveaux points est appelé polyèdre tronqué de
,
il est semi-régulier par construction. Il a
2a sommets et
f faces à
2n côtés.
Exemple.
Voyons, sur l'exemple de l'octaèdre, quelle est l'allure d'un sommet du polyèdre . Nous avons tracé le patron d'un sommet S de et, sur les arêtes aboutissant en S, posé les sommets de . Par exemple A et B se trouvent sur l'arête [RS]. Les faces hexagonales de sont bleues. Autour du sommet B, on a donc deux faces hexagonales et une face à q côtés obtenue en tronquant le sommet R, ici, c'est un carré.
En chaque sommet de
aboutissent
q arêtes, pour obtenir
, on enlève une petite pyramide (on tronque le sommet de
) et
on le remplace par une face à q côtés qui est la base de la pyramide enlevée,
a donc s faces à q côtés.
Le
symbole
de
est
(q, 2n, 2n). Comme
n vaut au moins
3 et
q au plus
5, l'ordre du symbole est bien respecté, la
règle de parité
aussi.
Exemple : Aperçu de l'
octaèdre tronqué
. Son symbole est (4,6,6).
Par la
formule d'Euler
on obtient le nombre d'arête de
qui égale
3a = 2a+f+s-2.
Résumé. Le polyèdre tronqué d'un polyèdre régulier
(avec
s sommets,
a arêtes,
f faces à
n côtés et
q faces en chaque sommet) a pour symbole est
(q, 2n, 2n).
Il a
2a sommets,
3a arêtes,
f faces à
2n côtés et
s faces à
q côtés.
Tronquer un polyèdre semi-régulier, non régulier
Si on veut appliquer cette méthode de troncature à un polyèdre semi-régulier,
on doit imposer à celui-ci que de part et d'autre d'une arête se trouvent une face à
n1 côtés et une face à
n2 côtés
(
Les seuls polyèdres semi-réguliers qui vérifient cette hypothèses sont le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre.
) mais on est embarrassé pour placer les deux sommets sur une arête (
pourquoi ?
). Dans tous les cas, le polyèdre obtenu ne sera pas semi-régulier bien que tous ses sommets aient même aspect. Par exemple, à partir d'un cuboctaèdre, on obtient un polyèdre de symbole
(4,6,8). Les polyèdres semi-réguliers qui ont la combinatoire de ces polyèdres tronqués sont les grands rhombi...
Comment tronquer un polyèdre ?
Quand on tronque un polyèdre régulier, on enlève une petite pyramide en chaque sommet du polyèdre
en coupant par un plan à une distance
d (sur l'arête) de chaque sommet.
Chaque face à
n côtés du polyèdre régulier porte alors une face à
2n côtés du polyèdre tronqué.
Cette face est encore un polygone régulier si on a tronqué le sommet à la distance
où
c est la longueur de l'arête. (Voir
DOC Polygones convexes réguliers
)
Quand le polyèdre à tronquer est semi-régulier sans être régulier, par exemple, si en chaque sommet, aboutissent des carrés et des triangles, on ne sait plus à quelle distance
d tronquer pour que les nouvelles faces soient régulières. En effet, si on tronque à un tiers du sommet, les octogones obtenus sur les faces carrées ne seront pas réguliers ;
si on tronque à une distance
du sommet (avec
c longueur des arêtes), les hexagones obtenus sur les faces triangulaires ne seront pas réguliers.
Polyèdres tronqués (vrais ou faux)
Les polyèdres tronqués
Tous les polyèdres archimédiens obtenus par
troncature
vérifient
q=3
et ce sont les seuls polyèdres semi-réguliers vérifiant
q=3 avec les
prismes
,
le tétraèdre, le cube et le dodécaèdre et les faux tronqués (voir plus bas).
| Polyèdres réguliers |
Polyèdres semi-réguliers
deux sommets par arêtes |
(3,3,3) Tétraèdre régulier
4s 6a 4 triangles
|
(3,6,6)
Tétraèdre tronqué
12s 18a 4 triangles et 4 hexagones
|
(4,4,4) Cube
8s 12 a 6 carrés |
(3,8,8)
Cube tronqué
24s 36a 8 triangles et 6 octogones
|
(3,3,3,3) Octaèdre
6s 12a 8 triangles
|
(4,6,6)
Octaèdre tronqué
24s 36a 6 carrés et 8 hexagones
|
(5,5,5) Dodécaèdre
20s 30a 12 pentagones
|
(3,10,10)
Dodécaèdre tronqué
60s 90a 20 triangles et 12 décagones
|
(3,3,3,3,3) Icosaèdre
12s 30a 20 triangles
|
(5,6,6)
Icosaèdre tronqué
(ballon de football)
60s 90a 12 pentagones et 20 hexagones
|
Les grands rhombi... ou faux tronqués
Voici deux polyèdres semi-réguliers dont les symboles pourraient résulter d'une telle opération de troncature (sur quels polyèdres ?). Ce sont les grands rhombi... (ou faux tronqués). Ils ont la combinatoire des polyèdres tronqués.
Le
grand rhombicuboctaèdre
a pour symbole (4,6,8). Il a 48 sommets, 72 arêtes et pour faces
12 carrés, 8 hexagones et 6 octogones.
Le
grand rhombicosidodécaèdre
a pour symbole (4,6,10). Il a 120 sommets, 180 arêtes et pour faces
30 carrés, 20 hexagones et 12 décagones.
Exercices :
-
Reconnaître sur une figure un polyèdre obtenu par troncature
-
Reconnaître un polyèdre (obtenu par troncature) donné par son symbole
-
Décrire un polyèdre obtenu par troncature
Les adoucis
Comment classer ou caractériser ces deux derniers polyèdres archimédiens ? Avec l'icosaèdre, ce sont les seuls qui vérifient
q=5 : en chaque sommet aboutissent 5 faces. Ensuite grâce à la règle de la somme des angles, les cas possibles sont vite énumérés.
Le
cube adouci
a pour symbole (3,3,3,3,4). Il a 24 sommets, 60 arêtes et pour faces
32 triangles et 6 carrés.
Le
dodécaèdre adouci
a pour symbole (3,3,3,3,5). Il a 60 sommets, 150 arêtes et pour faces
80 triangles et 12 pentagones.
Pour
comprendre le nom d'adouci, il faut imaginer qu'on a pris un cube par exemple
et qu'on a adouci ses sommets et ses arêtes par des triangles et obtenu ainsi un cube adouci.
Plus précisément, on a 6 faces carrées qui correspondent à celles du cube, 8 faces triangulaires
à la place des sommets et 2 faces triangulaires par arête du cube soit en tout 32 triangles.
Chaque sommet du cube adouci appartient à une face carrée et une seule (voir le symbole)
donc le cube adouci a
sommets. Le nombre d'arêtes calculé par la formule d'Euler
est
24+6+32-2=60.
Exercice : Calculer
(s,a,f) du dodécaèdre adouci en utilisant les relations entre s, a et f. (
Solution
)
Exercices de synthèse
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Généralités sur le symbole
-
Classer les polyèdres selon le nombre d'arêtes en un sommet
-
Nommer un polyèdre donné par son symbole
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Décire un polyèdre semi-régulier donné par une figure (1)
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Reconaître les rhombi ...
-
Nommer les rhombi...
-
Décrire un polyèdre semi-régulier donné par une figure (2)
Index des polyèdres
Le lien renvoie à la page de ce document où le polyèdre est décrit. Vous pouvez utiliser l'
outil polyèdres
pour les visualiser.
Références
Livres et papiers
- La référence principale pour les définitions et les résultats fondamentaux est
Mathématiques d'école
.
Les démonstrations proposées dans cet ouvrage (et omises dans ce résumé) sont accessibles aux lycéens.
- Un ouvrage de pliage pour fabriquer des polyèdres :
Pliages et Mathématiques de
Didier Boursin et Valérie Larose
aux Editions du Kangourou.
- Sur le site du Kangourou des mathématiques, vous trouvez des fascicules sur le sujet et des patrons de tous les polyèdres.
- Patrons à télécharger
Sites
