Doc Théorème de Bolyai

Sommaire

Si deux figures sont obtenues en disposant les mêmes pièces d'un tangram, elles ont évidemment même aire. Le théorème de Bolyai affirme qu'il suffit que deux polygones aient même aire pour qu'il existe un jeu de pièces polygonales qui permette d'obtenir par recollement l'un ou l'autre des polygones.
La démonstration de ce théorème est un peu longue mais assez élémentaire ; elle donne des méthodes de découpage. Dans les cas particuliers , on cherchera des solutions plus élégantes.

Equivalence par découpage et recollement

  1. Définition
  2. Propriétés
  3. Transitivité

Théorème de Bolyai

Quelques exercices

Ce document accompagne une partie du cours de géométrie de la licence scientifique générale (L3 pour des futurs professeurs des écoles à l'université Paris-Sud) Mathématiques d'école, nombres, mesures et géométrie (Editions Cassini).
On consultera avec profit Aires et volumes : découpage et recollement (I), un article de Daniel Perrin en ligne sur Images des Mathématiques, CNRS.
Les figures mobiles utilisent Geogebra.

Quelques exercices

Dans chaque cas, on précisera comment le découpage est obtenu et on justifiera le recollement.
  1. Proposer un découpage d'un carré permettant d'obtenir par recollement deux carrés de même aire.
  2. Proposer un découpage d'un carré de côté a permettant d'obtenir par recollement deux carrés de côtés b et c.
  3. Proposer un découpage d'un rectangle permettant d'obtenir par recollement un carré.
  4. Proposer un découpage d'un carré permettant d'obtenir par recollement trois carrés de même aire.
  5. Proposer un découpage de trois carrés de même aire permettant d'obtenir par recollement un carré.
  6. Trois variantes d'un même problème :
    • Découper un carré pour obtenir par recollement 5 carrés de même aire.
    • Avec 5 carreaux de céramique identiques, carreler un grand carré.
    • Transformer une croix rouge en carré en deux coups de ciseaux.
  7. Un calisson a la forme d'un losange formé de deux triangles équilatéraux dont on notera a la longueur du côté. Ranger des calissons dans une boîte de la forme d'un calisson de côté 2a puis dans une boîte de forme hexagonale de côté a puis de côté 2a.
  8. Problème du pâtissier .
  9. Proposer un découpage d'un hexagone (resp. pentagone) en deux hexagones (resp. pentagones).
  10. Proposer un découpage d'un triangle équilatéral (resp. hexagone régulier) en trois triangles équilatéraux (resp. hexagones réguliers).

Problème du pâtissier

Un pâtissier a un moule de forme un triangle scalène c'est-à-dire vraiment quelconque, sans symétrie particulière dont il connaît la longueur des côtés. Il prépare une tarte triangulaire dont les côtés ont les bonnes longueurs. Quand il cherche à mettre sa tarte dans le moule, il se rend compte qu'il ne peut pas mettre la tarte directement dans le moule. Sa tarte est symétrique du moule.

Comment mettre la tarte dans le moule ? On peut retourner la tarte dans le moule, les fruits au fond, ou découper la tarte et placer les morceaux fruits au-dessus dans le moule. Le pâtissier connaît le théorème de Bolyai donc il sait que la deuxième méthode est possible.
Proposez une solution à quatre morceaux et une à trois seulement.

patissier

Découpage et recollement de polygones

On dit que deux polygones A et B sont équivalents (sous-entendu par découpage et recollement) si on peut écrire A comme une réunion presque disjointe d'un nombre fini n de polygones A1, A2 ... An et B comme une réunion presque disjointe d'un nombre fini n de polygones B1, B2 ... Bn tels que pour tout i=1...n, le polygone Ai soit directement isométrique à Bi. On note alors A ~ B.

Exemple : Le pentagone est équivalent au trapèze.
def

Propriétés

  1. Deux polygones équivalents ont même aire.
  2. Deux polygones directement isométriques sont équivalents
  3. La relation "être équivalents par découpage et recollement" est une relation d'équivalence.

(3) signifie que ~ vérifie trois propriétés :
  1. la réflexivité : A~A
  2. la symétrie : A~B implique B~A
  3. la transitivité explicitée ici est la clé de la démonstration du théorème de Bolyai.

Transitivité

La relation "être équivalent par découpage et recollement" est transitive, c'est-à-dire si A est équivalent à B et B équivalent à C alors A est équivalent à C.
Ici, on a trouvé un découpage du carré A qui permet d'obtenir le rectangle RA par recollement et un découpage du triangle B qui permet d'obtenir le rectangle RB par recollement. Comme A et B ont même aire les rectangles RAet RB, de largeur 1, ont même longueur, ils sont isométriques. En superposant le découpage rouge et le découpage bleu de R, on obtient un découpage vert de R en morceaux plus nombreux qui permettent d'obtenir par recollement soit A, soit B.
transitif2

Théorème de Bolyai

Théorème (Bolyai, 1832).

Deux polygones A et B de même aire sont équivalents par découpage et recollement.

La démonstration assez longue utilise sans cesse la transitivité de la relation ~ puisque par étape on passe d'un polygone A à un rectangle R équivalent à A dont un côté a pour longueur l'unité. Les découpages utilisés sont exemplaires de la méthode mais dans les exercices on s'attachera à produire des découpages en peu de pièces.

Démonstration

Remarque: Ce résultat ne se généralise pas aux volumes. En général, deux polyèdres de même volume ne sont pas équivalents par découpage et recollement. Pour plus de détails, consulter Aires et volumes : découpage et recollement (II), un article de Daniel Perrin en ligne sur Images des Mathématiques, CNRS.

Démonstration

Etapes de la démonstration du Théorème de Bolyai :
  1. Lemme fondamental
  2. Du polygone au triangle
  3. Du triangle au parallélogramme
  4. Parallélogramme de côté inférieur à 1
  5. Parallélogramme de côté de longueur 1
  6. Du parallèlogramme au rectangle

Dans le livre, le passage d'un parallélogramme quelconque à un parallélogramme de longueur 1 est plus compliqué. Vous trouverez ici les figures de la démonstration du livre.
La démonstration plus simple, présentée ici, est aussi due à Daniel Perrin.

Lemme fondamental

Lemme fondamental
Soit A un polygone quelconque. Il existe un rectangle R équivalent à A dont un côté a pour longueur l'unité.

Ce lemme implique le théorème de Bolyai en effet si A et B sont de même aire, ils seront équivalents par découpage et recollement l'un à RA, l'autre à RB. Or comme RA et RB ont un côté de longueur l'unité et sont de même aire, ils sont isométriques donc équivalents. Par transitivité A et B le seront aussi.
C'est le cas illustré dans la présentation de la transitivité de la relation ~ .

Du polygone au triangle

Si on peut trouver un découpage de n'importe quel triangle qui permette d'obtenir par recollement un rectangle dont un côté est de longueur 1, on pourra le faire pour tout polygone. En effet, on peut découper tout polygone en triangles. Il suffit donc de montrer le lemme fondamental pour les triangles.
Bolyai1

Du triangle au parallélogramme

Lemme
Soit T un triangle, il existe un parallélogramme P équivalent à T par découpage et recollement.

On découpe le triangle ABC selon la droite des milieux (M N) et on fait tourner le petit triangle rouge A M N autour du point N en déplaçant le point A'. Le découpage de A B C en deux parties permet d'obtenir par recollement le parallélogramme B M N D.
Sur la figure, bouger le point A change l'allure du triangle ABC.

Parallélogramme de côté inférieur à 1

Nous passons maintenant par découpage et recollement d'un parallélogramme quelconque à un parallélogramme de côté de longueur inférieure à 1.

Soit un parallélogramme. Il existe un parallélogramme dont un côté est de longueur inférieure à 1, un autre de longueur supérieure à 1 et tel que soit équivalent à par découpage et recollement.

Sur cette figure, la longueur du côté [A B] du parallélogramme est inférieure à 4. Le découpage en 4 parallélogrammes permet d'obtenir le parallélogramme équivalent avec A'B inférieur à 1.
La longueur de l'autre côté a été multipliée par 4 ; pour assurer une longueur A D' supérieure à 1, il suffit de découper encore de la même façon pour allonger [A D'].
Déplacez les parallélogrammes en bougeant les points E, F et G.

Parallélogramme de côté de longueur 1

Soit un parallélogramme qui a un côté de longueur inférieure à 1 et un autre de longueur supérieure à 1. Il existe un parallélogramme dont un côté est de longueur 1 et tel que soit équivalent à par découpage et recollement.

Sur cette figure, la longueur du côté [A B] du parallélogramme est inférieure à 1 et celle de [A D] supérieure à 1. On a choisi de placer l'angle aigu en B.
Le cercle de rayon 1 centré en B rencontre le segment [AD] en A' du fait des inégalités B A < 1 et 1 <A D < B D. Le découpage suivant permet d'obtenir un parallélogramme équivalent avec A'B égale à 1.
Déplacer le triangle A B A' en bougeant le point H.

Du parallèlogramme au rectangle

Voici la dernière étape qui mène au rectangle de côté 1 annoncé dans le lemme fondamental.

Soit un parallélogramme tel que A B est égal à l'unité. Alors est équivalent à un rectangle de côté 1.

Il est plus ou moins immédiat de découper pour obtenir un rectangle en gardant un côté de longueur A B :

cas favorable

Si le pied de la hauteur se trouve sur le côté [A B ], il est simple de découper le parallélogramme pour obtenir un rectangle de côté l'unité.
En utilisant le point mobile A', déplacez le triangle A'H'D' pour transformer le parallélogramme en un rectangle.

cas défavorable

Si le pied de la hauteur du parallélogramme A B C D ne se trouve pas sur le côté [A B], on découpe, par des droites parallèles à [A B], le parallélogramme en tranches suffisamment petites afin de pouvoir transformer chaque petit parallélogramme en un rectangle comme dans le cas favorable . Faites-le en déplaçant les points P, Q, R et S.
Il suffit ensuite d'empiler les rectangles obtenus en un rectangle de côté l'unité. Faites-le en déplaçant les points T, U, V et W.

Parallélogramme de côté particulier

Nous allons passer par découpage et recollement en trois étapes d'un parallélogramme quelconque à un parallélogramme de côté une unité.
  1. Côté de longueur rationnelle
  2. Côté de longueur entière
  3. Côté de longueur une unité

Du parallèlogramme au rectangle
Sur les figures, bouger le point A permet de modifier l'allure et l'aire des parallélogrammes.

Côté de longueur rationnelle

Soit un parallélogramme. Il existe un parallélogramme dont un côté est de longueur rationnelle et tel que soit équivalent à par découpage et recollement.

Sur la figure, le point A' est mobile, on choisit sa position de telle sorte que la longueur B A' soit rationnelle. Le parallélogramme A B C D est réunion du quadrilatère A'B C D et du triangle A B A' et A'B C D' est réunion du même quadrilatère A'B C D et du triangle D C D' translaté de A B A'.

Côté de longueur entière

Soit un parallélogramme dont un côté est de longueur rationnelle. Il existe un parallélogramme dont un côté est de longueur entière et tel que soit équivalent à par découpage et recollement.

Le côté [A B] du parallélogramme A B C D a pour longueur d'unité. Le côté [A'B'] du parallélogramme A'B'C'D' (obtenu par découpage et recollement à partir de A B C D) a pour longueur 4 unités.

Pllg2

Côté de longueur une unité

Soit un parallélogramme dont un côté est de longueur entière. Il existe un parallélogramme dont un côté est de longueur l'unité et tel que soit équivalent à par découpage et recollement.

Le côté [B C] du parallélogramme A B C D a pour longueur 4 unités. Le côté [B C'] du parallélogramme A'B C'D' (obtenu par découpage et recollement à partir de A B C D a pour longueur une unité.

Les points E, F et G sont mobiles. On peut ainsi obtenir le parallélogramme A'B C'D' avec des parties de A B C D.

document sur l'équivalence de polygones par découpage et recollement.
: polygons, area, puzzle,découpage, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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