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OEF arithmétique modulaire
OEF arithmétique modulaire
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 38 exercices sur les calculs sur
l'anneau fini /n.
Trous d'addition
Considérons une application
, qui envoie
sur
. Remplissez le tableau suivant pour
en tirant les nombres donnés en bas.
Classes de congruences
?
Congruences avec un paramètre
Calculer le nombre
modulo en fonction du chiffre
.
Consigne : Dans la réponse, les entiers doivent être compris entre 0 et .
Trous cubiques
Considérons une application
, qui envoie
sur
. Remplissez le tableau suivant pour
en tirant les nombres donnés en bas.
Trous de division
Considérons une application
, qui envoie
sur
. Remplissez le tableau suivant pour
en tirant les nombres donnés en bas.
Division I
Calculer / .
Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .
Division II
Calculer / .
Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .
Division III
Calculer / .
Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .
Diviseurs de zéro
Le nombre est-il un diviseur de zéro ?
Diviseurs de zéro II
Trouver l'ensemble des diviseurs de zéro . (Dans cet exercice on ne considère pas le 0 comme un diviseur de zéro.)
Ecrire chaque élément par un nombre compris entre 1 et , et séparer les éléments par des virgules.
Diviseurs de zéro III
Soit = 2, où est un nombre premier. Combien de diviseurs de zéro y a-t-il ?
Dans cet exercice, on ne considère pas le 0 comme un diviseur de zéro.
Racines modulo p^2
Soit le polynôme
. Il a deux racines
et
.
Les calculer (on les donnera sous forme d'un entier compris entre 0 et ).
Soit
dans .
Calculer
mod
. (les entiers apparaissant seront compris entre 0 et
).
Vous avez trouvé
mod
.
Ainsi, l'équation
mod
est équivalente à
mod
.
Existe-t-il un unique entier
compris entre 0 et
, congru à modulo et tel que
mod
?
Réponse :
L'équation
mod
est en effet équivalente à l'équation
mod .
Calculer l'entier
compris entre 0 et
, congru à modulo et tel que
mod
.
Combien y-a-t-il de solutions (modulo
) à l'équation
mod
qui soient congrues à mod ?
Inverse I
Trouver l'inverse de .
Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .
Inverse II
Trouver l'inverse de .
Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .
Inverse III
Trouver l'inverse de .
Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .
Puissance inversible
est un nombre premier. La fonction
définie par
est-elle bijective ?
Divisibilité
On suppose que le nombre premier divise
pour deux entiers
et
. Peut-on conclure que divise
et
?
Equation linéaire modulaire
Soit l'équation dans
mod
L'équation a-t-elle une solution ?
L'ensemble des solutions
est de la forme
avec
un entier positif et
un ensemble fini d'entiers de strictement inférieurs à
. En prenant
le plus petit possible, donner tous les éléments de
.
L'ensemble des solutions
est de la forme
avec
un ensemble fini d'entiers de
strictement inférieurs à . Donner tous les éléments de
.
+
Remplacer le second membre par un autre entier de manière à ce que la nouvelle équation ait une solution.
Trous de multiplication
Considérons une application
, qui envoie
sur
. Remplissez le tableau suivant pour
en tirant les nombres donnés en bas.
Multiples spéciaux
Soit
. Trouver le plus petit entier
tel que l'entier qui s'écrit en base
avec
chiffres tous égaux à 1 soit un multiple de
.
Multiples spéciaux II
Soit
. C'est un nombre premier. Trouver le plus petit entier
tel que l'entier qui s'écrit en base
sous la forme
avec
fois le motif soit un multiple de
.
Période d'un rationnel en base b
Le développement du rationnel
écrit en base est périodique de période à partir de la
première
-ième
"décimale". Quels sont tous les diviseurs premiers possibles du dénominateur de
(dans l'écriture décimale) ?
Trous de polynôme
Considérons une application
, qui envoie
sur
. Remplissez le tableau suivant pour
en tirant les nombres donnés en bas.
Puissances
Calculer l'élément .
Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .
Puissances II
est un nombre premier. Calculez l'élément .
Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .
Trous de puissance
Considérons une application
, qui envoie
sur
. Remplissez le tableau suivant pour
en tirant les nombres donnés en bas.
Racines modulo
Soit
le nombre premier . On désire calculer un entier
tel que
mod .
Calculer un entier
tel que
soit congru à 1 modulo un nombre
que vous devez déterminer et qui vous sera utile pour ce problème.
=
=
Quelle puissance de
faut-il calculer ?
Calculer une solution
=
mod .
Racines
est un nombre premier. Il existe un élément
, tel que a soit congru à modulo . Trouver
.
Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .
Racines de l'unité modulo p (I)
Soit l'équation
1 mod .
Calculer le plus petit entier
tel que cette équation soit équivalente à
1 mod
et donner le nombre de solutions.
Racines de l'unité modulo p (II)
Soit le système d'équations
Calculer le plus petit entier
tel que cette équation soit équivalente à
1 mod .
Quel est le nombre de solutions modulo ?
Calculs simples dans Z/nZ
Calculer
dans /.
Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .
Calculs simples modulo n
Calculer
modulo .
Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et .
Carrés
Trouver l'ensemble des carrés .
Ecrire chaque élément par un nombre compris entre 0 et et séparer les éléments par des virgules.
Somme et produit
Trouver deux entiers
et
tels que
,
,
Vous pouvez entrer les deux nombres dans n'importe quel ordre.
Système linéaire modulo n II
Trouver toutes les solutions dans du système d'équations suivant
On écrira les solutions sous la forme
=
*
+
*
=
*
+
*
avec
et
dans .
Système linéaire modulo n I
Le système d'équations suivant
a-t-il une unique solution modulo ?
Système linéaire modulo n II
Trouver toutes les solutions dans du système d'équations suivant
On écrira les solutions sous la forme
=
+
*
+
*
=
+
*
+
*
avec
et
dans .
Trous de trinôme
Considérons une application
, qui envoie
sur
. Remplissez le tableau suivant pour
en tirant les nombres donnés en bas.
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Description: collection d'exercices dans l'anneau Z/nZ ou congruences modulo n. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra,arithmetic, modular_arithmetic
.
mod 
strictement inférieurs à
. En prenant
le plus petit possible, donner tous les éléments de
.
L'ensemble des solutions
est de la forme