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OEF 同余算术 --- 介绍 ---

本模块目前包含 37 个有限环 ZZ/nZZ 里的计算的练习.

加法填空

考虑映射 , 它把 映到 . 根据 的值把底下方块里的数拖放到空格里去.

同余类

?

带参数同余

计算 模 , 写成 的函数, 是 0 到 9 之间的一个数字.

约定 : 回答中的出现的整数应该在 0 和 之间.

立方填空

考虑映射 , 它把 映到 . 根据 的值把底下方块里的数拖放到空格里去.

除法填空

考虑映射 , 它把 映到 . 根据 的值把底下方块里的数拖放到空格里去.

除法 I

在 ZZ/ZZ 里计算 / . 把结果表示成 0 到 的整数.

除法 II

在 ZZ/ZZ 里计算 / . 把结果表示成 0 到 的整数.

除法 III

在 ZZ/ZZ 里计算 / . 把结果表示成 0 到 的整数.

零因子

是 ZZ/ZZ 里的零因子吗 ?

零因子 II

找出 ZZ/ZZ 里的零因子集. (这个练习的零因子不包括 0.)

把每个元素写成 1 到 之间的一个整数, 元素间用逗号分隔.

零因子 III

已知 =2, 其中 是素数. 在 ZZ/ZZ 里有多少零因子 ?

本练习中的零因子不包括 0.

模 p^2 的根

设多项式 在 ZZ/ZZ 内有两个根 与 . 计算之.
(写成 0 到 之间的整数的形式).

设在 ZZ 内 . 计算 mod .
(出现的整数应该在 0 到 ) 之间. 你找到了 mod . 因此, 方程 mod 等价于

mod .

是否存在唯一的 0 与 之间的整数 同余于 mod 且使得

mod ?

回答 : 方程 mod 实际上等价于方程 mod .

计算 0 与 之间的整数 , 它同余于 mod 且使得 mod . 方程 mod 有多少解 (模 ) 它同余于 mod ?

求逆 I

在 ZZ/ZZ 里求 的逆 . 把结果表示成 0 到 间的整数.

求逆 II

在 ZZ/ZZ 里求 的逆 . 把结果表示成 0 到 的整数.

求逆 III

在 ZZ/ZZ 里求 的逆 . 把结果表示成 0 到 的整数.

可逆乘幂

是素数. 考虑函数 f: ZZ/ZZ -> ZZ/ZZ 它定义为 f(x)=x .

f 是双射吗 ?

可除性

假定对两个整数 和 , 素数 整除 . 是否有 整除 和 ?

同余线性方程

设有 ZZ 内方程

equiv mod

方程有解吗 ?

解的集合 具有形式 ZZ 其中 是正整数, 是 NN 内严格小于 的整数的有限集. 取 为其中最小者, 给出 内所有整数 . 解的集合 具有形式 ZZ 其中 是 内严格小于 的整数的有限集. 写出 的所有整数.

+ ZZ ZZ

把常数项 换成另一个整数使得新方程有解.

乘法填空

考虑映射 , 它把 映到 . 根据 的值把底下方块里的数拖放到空格里去.

特殊倍数

设 . 求最小的整数 使得写成 进制数时变成 个 1 的整数也是 的倍数 .

特殊倍数 II

设 . 这是一个素数. 求最小整数 , 使得一个整数写成 进数时具有形式 其中有 个重复片断 , 这个数也是 的倍数.

以 b 为底的有理数的周期

有理数 写成 进制小数时以 为周期循环, 而且是从第 位小数开始循环. 问 的分母可能有的素因子是什么 (写成十进制形式) ?

多项式填空

考虑映射 , 它把 映到 . 根据 的值把底下方块里的数拖放到空格里去.

乘幂

在 ZZ/ZZ 内计算 . 把结果表示成 0 到 间的整数.

乘幂 II

是素数. 在 ZZ/ZZ 内计算 . 把结果表示成 0 到 间的整数.

乘幂填空

考虑映射 , 它把 映到 . 根据 的值把底下方块里的数拖放到空格里去.

同余根

设 是素数 . 我们希望算出整数 使得

equiv mod .

根

是素数. 在 ZZ/ZZ 内有元素 a , 使得 a 模 同余于 , 求 a.

把结果表示成 0 到 间的整数.

Z/pZ 内的单位根 (I)

设方程

equiv 1 mod .

计算最小整数 使得这个方程等价于

equiv 1 mod

并给出解的个数

Z/pZ 内的单位根 (II)

设方程组

计算最小整数 使得这个方程等价于

equiv 1 mod .

模 后的解数是多少 ?

模 n 的简单计算

在 ZZ/ZZ 内计算 . 把结果表示成 0 到 间的整数.

平方

求 ZZ/ZZ 内平方元的集合. (ZZ/ZZ 里的平方是可表成另一个元素平方的元素.)

把每个元素表示成 0 到 间的整数, 元素间用逗号分隔.

和与积

求两个整数 , 满足

0 , 0 ,

+ (mod ) , × (mod ) .

不考虑这两个数的次序.

模 n 线性方程组 II

求出以下线性方程组在 ZZ 内的所有解

把解写成以下形式
= * + *
= * + *
其中 和 在 ZZ 内.

模 n 线性方程组 I

设有线性方程组

是否有模 的唯一解 ?

模 n 线性方程组 III

求出以下线性方程组在 ZZ 内的所有解

把解写成以下形式
= + * + *
= + * + *
其中 和 在 ZZ 内.

三项式填空

考虑映射 , 它把 映到 . 根据 的值把底下方块里的数拖放到空格里去.

别的类似练习: modular arithmetic  

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