Changement de variables

Objectifs

La méthode du changement de variable est très utile pour le calcul d'intégrale ou de primitive ; elle peut conduire à des erreurs si elle n'est pas appliquée avec soin. On peut aussi se compliquer la vie inutilement si on l'applique de travers.

Guide

Le théorème

Théorème : Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

Cas où le changement de variables est évident

On doit calculer ; on voit que x apparaît toujours par l'intermédiaire d'une expression plus complexe et de sa dérivée :
,
on fait alors le changement de variable : On applique à la fonction f le théorème.
Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

Concrètement, on vérifie que la fonction varphi est C1 sur [a,b] et on remplace

par u
  par   du
les bornes a et b   par    et .

On obtient ainsi une nouvelle intégrale égale à l'intégrale .

Remarque : Quand x vaut a, la nouvelle variable vaut ...

Exemple

Exemple

Pour voir le théorème en même temps.

Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

Calculons dx. La fonction à intégrer est de la forme f(ln(x) ) où est la dérivée de et où f est la fonction définie par f(u)= u5 . On fait donc le changement de variable u=ln(x) :

On obtient donc :

.

Cas où le changement de variables n'est pas évident

On peut aussi utiliser la formule du théorème
Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :
de la droite vers la gauche. Pour calculer où f est une fonction continue sur , on a envie de poser .

Contrairement à ce qu'il est souvent écrit, on n'a pas besoin de définir la fonction réciproque de varphi. Par contre, il est essentiel de trouver un intervalle [a,b] tel que

On peut alors appliquer le théorème

Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :
pour faire le changement de variable :
.

Concrètement, une fois choisie la fonction varphi :

On obtient ainsi une nouvelle intégrale égale à l'intégrale .

Remarque :

Exemple typique Exercices corrigés

Exemple typique

Pour voir le théorème.
Soit varphi une fonction réelle de classe C1 définie sur l'intervalle [a,b]. Soit f une fonction continue sur l'intervalle . On a l'égalité :

On veut calculer l'intégrale . On a envie de poser x=cos( t) et de prendre comme fonction varphi la fonction définie par sur un intervalle à déterminer.

On dit ici que l'on fait le changement de variables x=cos(t) pour t compris entre 0 et pi. Il ne reste plus qu'à finir les calculs.

Sur l'intervalle [0,pi], la fonction sin est positive, on a donc :

Remarquons que si on avait pris les bornes saugrenues a=5pi et b=4pi, la fonction sin n'aurait pas été positive entre 5pi et 4pi et le calcul aurait été moins simple !

Exercices corrigés

Exercice : Vous voulez calculer l'intégrale . Le théorème justifie-t-il le changement de variables x=cos(t) pour t compris entre 10pi et ? Que vaut l'intégrale transformée ?

Solution

Oui, le théorème s'applique :
  • la fonction définie sur l'intervalle [ ] par varphi(t)=cos(t) est C1.
  • Son image est contenue dans l'intervalle [-1,1]. On a
    , cos(10pi )=1
  • La fonction f définie sur [-1,1] par est continue sur [-1,1].
L'intégrale I est égale à

Bien que correct, le choix de cet intervalle est tout à fait déconseillé car la suite des calculs serait très compliquée puisqu'il faudrait séparer en intervalles où sin est de signe constant pour calculer .

Exercice : Soit . Le théorème justifie-t-il le changement de variables x=Arctan(2t) ? Que choisirez-vous pour les bornes a et b de la nouvelle intégrale ?

Solution

Non, je ne peux pas trouver de nombres a et b vérifiant les deux conditions suivantes
  • Arctan(a)=0, Arctan(b)=pi
  • la fonction est définie et C1 sur l'intervalle [a,b] (ou [b,a]).

Par contre en transformant astucieusement, on peut utiliser dans ce cas le changement de variable dit évident ou conseillé, c'est-à-dire transformer 1/(2+cos(x)) par les formules de trigonométrie jusqu'à tomber sur une expression de la forme . Sur quel intervalle peut-on alors prendre comme fonction varphi la fonction donnée par ?

Changement de variables dans une primitive

Pour le calcul de la primitive sur l'intervalle [c,d] (avec ), on applique le changement de variable si on peut

Pour remplir ces conditions, on est donc amené à choisir un changement de variable varphi bijectif sur [c,d] afin de pouvoir considérer la fonction réciproque psi de varphi sur .

Concrètement,

La primitive F est alors définie sur [c,d] et on a en tout point x de [c,d]

Exemple :
Le changement de variable u=cos(t) appliqué à t compris entre et Arccos(x) donne (par définition de Arccos, sin(t) est toujours positif ou nul pour t compris entre et Arccos(x)) :

Exercices interactifs

Exercice : Dérivation d'une intégrale fonction des bornes

Exercice : Intégration interactive : changement de variables

document sur les méthodes d'intégration.
: integration, integrale, primitive,changement,, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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