Ce module regroupe pour l'instant 13 exercices sur la définition d'espaces
vectoriels. Différentes structures sont proposées dans chaque
cas ; à vous de déterminer
s'il s'agit réellement d'un espace vectoriel.
Soit
l'ensemble de cercles dans le plan (cartésien), avec des règles d'addition et de multiplication par scalaire comme suit.
Si
(resp.
) est un cercle de centre
(resp.
) et de rayon
,
sera le cercle de centre
et de rayon
.
Si
est un cercle de centre
et de rayon
, et si
est un nombre réel, alors
est un cercle de centre
et de rayon
.
L'ensemble S avec l'addition et la multiplication par scalaire définies ci-dessus est-il un espace vectoriel sur le corps de nombres réels ?
Espace d'applications
Soit
l'ensemble d'applications
,
(i.e., de l'ensemble des à l'ensemble des ) avec les règles de l'addition et la multiplication par scalaire comme suit :
Si
et
sont deux applications dans
,
est l'application
telle que
pour tout x appartenant à
.
Si
est une application dans
et si
est un nombre réel,
est l'application de
à
telle que
pour tout
appartenant à
.
L'ensemble
muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?
Valeur absolue
Soit
l'ensemble de couples (x,y) de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par scalaire sur
comme suit :
Pour tous (x,y) et (x,y) appartenant à
, on définit
.
Pour tout
appartenant à
et tout nombre réel
, on définit
.
L'ensemble
muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur > ?
Droite affine
Soit
une droite dans le plan cartésien, définie par une équation
, et soit
un point fixe sur
.
Nous prenons l'ensemble de points
sur
. Sur
, nous définissions l'addition et la multiplication par scalaire comme suit.
Si
et
sont deux éléments de
, on définit
.
Si
est un élément de
et si
est un nombre réel, on définit
.
L'ensemble
muni des règles ci-dessus est un espace vectoriel sur ?
Addition alternée
Soit
l'ensemble de couples (x,y) de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par scalaire sur
comme suit :
Pour tous
et
appartenant à
,
Pour tout (x,y) appartenant à
et tout nombre réel
,
.
L'ensemble
muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?
Corps
L'ensemble des , muni de l'addition et la multiplication habituelle, est-il un espace vectoriel sur le corps des ?
Matrices
Soit
l'ensemble des matrices réelles
. Sur
, on définit la multiplication par un scalaire comme suit. Si
est une matrice dans
et si
est un nombre réel, la multiplication de
par le scalaire
est définie comme étant la matrice
, où
.
L'ensemble
muni de l'addition habituelle des matrices et cette multiplication scalaire est-il un espace vectoriel sur
?
Matrices II
L'ensemble des matrices à coefficients et de taille , muni de l'addition et la multiplication habituelles, est-il un espace vectoriel sur le corps des ?
Multiplier/diviser
Soit
l'ensemble de couples (x,y) de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par scalaire sur
comme suit :
Pour tous
et
appartenant à
, on définit
.
Pour tout
appartenant à
et tout nombre réel
, on définit
si
n'est pas nul, et
.
L'ensemble
muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?
Nombres non nuls
Soit
l'ensemble de nombres réels . On définit l'addition et la multiplication par scalaire sur
comme suit :
Si
et
sont deux éléments de
, la somme dans
de
et
est définie comme étant
.
Si
est un élément de
et si
est un nombre réel, la multiplication de
par le scalaire
est définie comme étant
.
Est-ce que
muni des règles ci-dessus est un espace vectoriel sur ?
Transaffine
Soit
l'ensemble de couples
de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par scalaire sur
comme suit :
Si
et
sont deux éléments de
, leur somme dans
est définie comme étant le couple
.
Si
est un élément de
, et si
est un nombre réel, la multiplication de
par le scalaire
dans
est définie comme étant le couple
.
L'ensemble
muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur ?
Transcarré
Soit
l'ensemble de couples
de nombres réels. On définit l'addition et la multiplication par un scalaire sur
comme suit :
Pour tous
et
appartenant à
,
Pour tout (x,y) appartenant à
et tout nombre réel
,
.
L'ensemble
muni des règles ci-dessus est-il un espace vectoriel sur > ?
Cercle de l'unité
Soit
l'ensemble de points sur le cercle x2+y2=1 dans le plan cartésien. Pour tout point (x,y) dans
, il y a un nombre réel
tel que
,
.
On définit l'addition et la multiplication par scalaire sur
comme suit :
Si
et
sont deux points dans
, leur somme est définie comme étant
.
Si
est un point dans
et si
est un nombre réel, la multiplication de
par le scalaire
est définie comme étant
.
Est-ce que
muni des règles ci-dessus est un espace vectoriel sur ?
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Description: collection d'exercices sur la définition d'espaces vectoriels. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra, linear algebra, vector space, espace vectoriel
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