Algèbre linéaire : espaces vectoriels

Objectifs et conseils

Avec ce chapitre, nous posons les bases de l'algèbre linéaire. Pour entrer au mieux dans ces définitions un peu abstraites, faites des dessins en dimension 2 ou 3. Vérifiez les propriétés énoncées sur des exemples simples. Prenez le temps d'assimiler les premières notions, vous comprendrez mieux la suite.

Documents

Les rappels de cours de cette partie sont issus des résumés de cours du S1 MIAS rédigés par Myriam Déchamps.

Introduction

• Problèmes linéaires
• Vecteurs : langage géométrique, langage algébrique
• Vecteurs dans Rⁿ
• Conclusion

Problèmes linéaires

L'algèbre linéaire fournit un langage et une collection de résultats très utiles dans des domaines très variés (biologie, chimie, économie, physique, statistiques ...). Mais pour savoir l'utiliser, il faut apprendre à identifier les problèmes linéaires ou ceux qui peuvent être modélisés par une approche linéaire (c'est une situation usuelle dans la plupart des sciences : on remplace ainsi un phénomène complexe par un problème plus facile à résoudre).
On dira (on verra dans la suite une définition plus précise) que
Par exemple,

• le principe de superposition en physique exprime que les équations de la chaleur et des cordes vibrantes sont linéaires.

En mathématiques, l'axiomatisation des problèmes linéaires se fait par la définition de la structure d'espace vectoriel et notre premier souci sera de distinguer, parmi les ensembles qui nous sont familiers, ceux qui peuvent être munis de cette structure.

Vecteurs : langage géométrique, langage algébrique

Soit un repère de l'espace. Soient M et M' deux points de l'espace, de coordonnées (a,b,c) et (a',b',c') dans ce repère. Alors les vecteurs et s'écrivent :
On sait faire la somme de ces deux vecteurs, on sait les multiplier par un nombre réel et ces opérations géométriques sur les vecteurs se traduisent par des opérations algébriques sur leurs coodonnées par rapport au repère fixé :

Vecteurs
Coordonnées	(a,b,c)	(a',b',c')	(a+a',b+b',c+c')

Si nous ne retenons que l'aspect algébrique, il est alors possible de considérer des "vecteurs'' avec n coordonnées et de définir leur somme et le produit d'un vecteur par un nombre réel, de façon analogue.

Vecteurs dans Rⁿ

Soit , convenons d'appeler vecteurs les éléments de (le produit cartésien usuel , n fois) et d'appeler scalaires les éléments de .

Cette définition va nous permettre de définir deux opérations dans .

1. Addition : .
2. Multiplication par un scalaire : .

Conclusion

Il y a bien d'autres ensembles E en mathématiques pour lesquels on sait additionner deux éléments et multiplier un élément par un nombre réel (resp. complexe), tout en restant dans E : par exemple,

• l'ensemble des fonctions de dans
• l'ensemble des polynômes à coefficients complexes.

On s'aperçoit que des nombreux calculs ou preuves faits dans n'utilisent pas le fait que l'on travaille avec des coordonnées et sont valables lorsqu'on travaille dans les espaces de fonctions ou polynômes ci-dessus. Ces règles de calcul vont alors constituer la base de l'algèbre linéaire abstraite.
La démarche d'axiomatisation consiste à "oublier" la nature des éléments des ensembles E que l'on étudie pour ne retenir que le fait suivant : ils sont munis de deux opérations et ces opérations ont un certain nombre de propriétés. On s'intéressera ensuite à établir les résultats qui découlent de cette structure algébrique et qui seront valables indépendamment de la nature des éléments de E. Ces éléments seront toujours appelés vecteurs, par commodité et pour favoriser l'intuition géométrique ; mais ce langage peut être déroutant : en tant qu'élément d'un espace vectoriel, une fonction est un vecteur !

Définition d'un espace vectoriel

Exemples

Un espace vectoriel sur K est aussi appelé un K-espace vectoriel, en abrégé K-ev. Les éléments de E sont appelés vecteurs.
Un K-espace vectoriel E, muni de son addition, est un groupe commutatif, grâce aux propriétés 1. à 4.
Nous notons provisoirement les opérations d'un K-espace vectoriel par les symboles et , pour les différencier des opérations du corps des scalaires K et mieux comprendre les premiers exemples d'espaces vectoriels. Ensuite nous utiliserons les notations usuelles + pour l'addition et ou rien de tout pour la multiplication par un scalaire (ne pas oublier que l'on ne multiplie pas de vecteurs entre eux !).

Exercices sur la définition

Règles de calcul

• Un K-espace vectoriel E, muni de l'addition, est un groupe commutatif, donc il a toutes les propriétés des groupes commutatifs.
  Proposition : Soient E un K-espace vectoriel, u et v dans E. On a :

  1. .
  2. .
  3. .
• Il y a aussi les règles de calcul concernant la multiplication par un scalaire.
  Proposition : Soient E un K-espace vectoriel, u et v dans E, et dans K. On a :

  1. .
  2. .
  3. et .
  4. ;
  5. en particulier,

Nous utiliserons dorénavant les notations usuelles pour les opérations.

Combinaisons linéaires et systèmes linéaires

Dans , chercher à écrire le vecteur b comme combinaison linéaire de vecteurs donnés , c'est résoudre l'équation vectorielle : où les inconnues sont les , les coefficients de la combinaison linéaire cherchée. Cette équation est équivalente à un sytème linéaire A X=B à p équations et n inconnues dont la matrice A a pour j-ième colonne les composantes de et pour second membre le vecteur colonne B des composantes de b.

Cette question revient à savoir s'il existe tel que L'équation vectorielle (E) équivaut au système linéaire de trois équations et trois inconnues x₁, x₂ et x₃ suivant : En résolvant ce système par la méthode du pivot de Gauss, on obtient :

1. si , la solution du système est unique b s'écrit, pour tout , de facon unique, comme c.l. de u₁,u₂ et u₃ ;
2. Si et , le système n'a pas de solution donc b ne peut s'écrire comme combinaison linéaire de u₁,u₂ et u₃ ;
3. Si et , le système a une infinité de solutions et b s'écrit d'une infinité de fac cons comme c.l. de u₁,u₂ et u₃.

On peut retenir de cet exemple que si on se donne trois vecteurs de et un vecteur b, il n'est pas toujours possible d'écrire b comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs et que lorsque c'est possible, l'écriture n'est pas toujours unique.

Interprétation

On a vu ( par exemple ) que chercher à écrire b comme combinaison linéaire de n vecteurs u₁, u₂, u_n conduit à résoudre un système linéaire. Nous pouvons dire maintenant que le système a une solution, c'est-à-dire que b est combinaison linéaire de n vecteurs u₁,u₂, ..., u_n si et seulement si b appartient au sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs u₁,u₂, ..., u_n.

L'écriture peut être unique ou non. Cette propriété depend du rang du système . Elle décrit une propriété de l'ensemble des vecteurs u₁,u₂,...,u_n que nous verrons plus tard.

Sous-espaces vectoriels

Il est naturel de s'intéresser aux sous-ensembles d'un K-espace vectoriel qui sont, eux-mêmes, des espaces vectoriels. Il y a plusieurs façons équivalentes de les définir.

Exemples de sous-espaces vectoriels

Remarque. Le plus souvent, pour démontrer qu'un ensemble F est un K-espace vectoriel, on montre qu'il est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel déjà connu (par exemple, un des sept espaces de la liste donnée au paragraphe précédent).

• Exemples triviaux
  Soit E un K-espace vectoriel. Alors et E sont des sous-espaces vectoriels vectoriels de E, appelés les sous-espaces vectoriels triviaux de E.
• Exemple du plan
  Soient a, b et c trois nombres réels et . Alors F est un sev de si et seulement si c=0. Si l'on identifie au plan usuel muni d'un repère et si a et b ne sont pas tous deux nuls, a x+b y=c est l'équation d'une droite du plan : cette droite est un sev de si et seulement si elle passe par l'origine ; remarquons que si c=0 l'on a , où (b,-a) est un vecteur non nul de qui appartient à F.
• Exemple des suites
  L'ensemble des suites réelles convergentes est un sev du K-ev de toutes les suites à valeurs dans K.
• Exemple des fonctions
  F={ continue} est un sev de .
• Exemple des polynômes
  Soit , alors est un sev de K[X].

Ensemble des solutions d'un système linéaire

Revenons sur les systèmes linéaires en utilisant les notions d'algèbre linéaire : l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène n'est jamais vide (il contient le n-uplet nul), est stable par addtion et par multiplication par un scalaire. Nous pouvons dire maintenant que
Remarquons aussi que chaque équation du système définit un sous-espace vectoriel ; notons le sous-espace vectoriel (c'est un hyperplan vectoriel) de défini par la i-ième équation : L'ensemble des solutions du système linéaire homogène est l'intersection des sous-espaces vectoriels ( ).
On a vu que l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène dépendait de n-r paramètres. Nous pouvons dire maintenant qu'il est engendré par n-r solutions particulières.
L'ensemble des solutions d'un système linéaire qui se présente comme la somme d'une solution particulière et du sous-espace vectoriel , ensemble des solutions d'un système linéaire homogène associé est appelé sous-espace affine.

Histoire

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• Introduction
  • Problèmes linéaires
  • Vecteurs : langage géométrique, langage algébrique
  • Vecteurs dans Rⁿ
  • Conclusion
• Définition d'un espace vectoriel
• Exemples
• Exercices sur la définition
• Règles de calcul
• Combinaisons linéaires et systèmes linéaires
• Interprétation
• Sous-espaces vectoriels
• Exemples de sous-espaces vectoriels
• Ensemble des solutions d'un système linéaire
• Histoire