OEF Exercices de synthèse sur les suites (bac ES, STG) --- Introduction ---

On considère une suite dans laquelle chaque terme s'obtient à partir du terme précédent en .
On connaît la valeur du terme .
Avec ces seules données, quelle formule permet de calculer directement le terme de rang ?

On considère une suite dans laquelle chaque terme s'obtient à partir du terme précédent en .
On veut calculer la somme de termes successifs .

1. est la somme de termes consécutifs d'une suite .
2. Quelle formule permet de calculer la somme ? =

On donne les quatre nombres suivants :

• Ce sont les quatre premiers termes d'une suite : .
!

... Ce sont les premiers termes d'une suite , car on passe d'un terme au suivant un nombre constant.

• La raison de cette suite est : .
! ... La raison de cette suite est . On a : ; ; ; etc. On a : ; ; ; etc.
• En continuant la suite, on aurait : =   et   =  (valeurs arrondies au millième)  (valeurs exactes)

Un particulier place un capital initial de euros. Les intérêts sont , au taux annuel de %.
On note le capital disponible au bout de années de placement (exprimé en euros).

1. Calculer les valeurs exactes des capitaux disponibles respectivement après un an et deux ans de placement: =  et   =
! ! Le placement est à intérêts simples, donc chaque année le capital augmente d'un intérêt fixe égal à % de .
On a : ; ; . Le placement est à intérêts composés, donc chaque année le capital augmente d'un intérêt variable égal à % de .
On a : ;
2. La suite des capitaux est de raison .
! ! Le placement est à intérêts simples, donc de l'année à la suivante on a : où est l'intérêt fixe .
Le placement est à intérêts composés, donc de l'année à la suivante on a : .
La suite est de raison et de premier terme .
3. Pour obtenir un capital qui ait augmenté de pour cent par rapport au capital initial, il faut le placer pendant au moins années pleines.

Le premier janvier 2007, a signé un contrat de travail aux conditions suivantes :

• pendant la première année, son salaire mensuel est fixé à euros ;
• au premier janvier de chaque nouvelle année, son salaire mensuel augmente de .

• Question 1 : Quel est le salaire annuel initial ? =
! ... .
• Question 2 : Quelle est la du salaire annuel en 2008 ? =  
! ...
et soit en arrondissant à l'entier .
• Question 3 : De quelle nature est la suite des salaires annuels ( ) ? C'est une suite de raison
! ... La suite est de raison .
• Question 5 : Quelle est la du salaire annuel en ? =  
! ... On a . On a soit en arrondissant à l'entier.
• Question 6 : Si restait dans cette entreprise du premier janvier 2007 au 31 décembre , quelle serait la somme totale des salaires perçus par ? S =  

D'après une légende biblique, la Tour de Babel devait monter jusqu'aux cieux, afin de pouvoir loger toute l'humanité dans une seule et même cité.

Supposons que le premier étage de la Tour coûte talents, puis que chaque étage supplémentaire coûte talents de plus que le précédent, et ce jusqu'au cinquantième étage inclus. Notons le prix en talents du n-ième étage de la Tour.

• La suite est de raison
• Le cinquantième étage coûte alors : talents.
• Le coût total des cinquante premiers étages est : talents.
!
La suite est de raison et de premier terme .
Le coût du n-ième étage se calcule par , donc .
Par la formule de somme d'une suite arithmétique : .

Supposons qu'à partir du cinquantième étage, chaque étage supplémentaire coûte talents de plus que le précédent, et ce jusqu'au centième étage inclus.

• Le cinquante et unième étage coûte alors : = talents.
• Le centième étage coûte alors : = talents.
• Le coût total de la deuxième tranche de cinquante étages est : talents.
! ...
La suite est de raison et de premier terme .
On a :   et   ou bien .
Par la formule de somme d'une suite arithmétique, .