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OEF Polynômes
OEF Polynômes
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 32 exercices sur les polynômes à une
variables (avec coefficients réels ou complexes) : racines, degrés,
composition, division euclidienne, ...
Degré du pgcd avec dérivée
Soit
un polynôme de degré et à coefficients , ayant racines réelles et racines complexes différentes (non comptées avec multiplicités). Soit
la dérivée de
. Quel est le degré de pgcd(
) ?
Min. deg racines multiples
Quel est le degré minimum d'un polynôme P(x) à coefficients admettant :
comme racine de multiplicité ;
comme racine de multiplicité ?
Répondez -1 si vous pensez qu'un tel polynôme n'existe pas.
Degré de somme
Soient () et () deux polynômes. Complétez :
Si deg()= et deg()=, alors est un polynôme de degré ________.
Equation de différence
Trouver le polynôme () tel que
()-() = 2
et que ()=.
Tapez x^3 pour 3, etc.
Trouver racine multiple degré 3
Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.
Trouver racine multiple degré 4
Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.
Trouver racine multiple degré 5
Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.
Trouver racine multiple degré 6
Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.
pgcd donné avec dérivée
Trouver le polynôme
tel que :
pgcd(
) =
, où
est le polynôme dérivé de
;
;
le degré de
est le plus petit possible.
Vous pouvez entrer le polynôme sous forme développée ou factorisée. Tapez x^3 pour
, etc.
Racine donnée deg 3
Déterminez le polynôme
P() = 32 ,
sachant que et sont réels, et que en est une racine.
Min. deg pgcd avec dérivée 2
Soit P(x) un polynôme de degré et à coefficients , ayant racines réelles et racines complexes différentes (non comptées avec multiplicités). Soit P''(x) la dérivée seconde de P(x). Quel est le minimum du degré de pgcd(P(x),P''(x)) ?
Min. deg pgcd avec dérivée n
Soit P(x) un polynôme de degré et à coefficients , ayant racines réelles et racines complexes différentes (non comptées avec multiplicités). Soit P()(x) la dérivée d'ordre de P(x). Quel est le minimum du degré de pgcd(P(x),P()(x)) ?
Multiplicité d'une racine degré 3
Le nombre est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.
Multiplicité d'une racine degré 4
Le nombre est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.
Multiplicité d'une racine degré 5
Le nombre est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.
Multiplicité d'une racine degré 6
Le nombre est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.
Multiplicité paramétrée degré 3
Trouver une valeur de
pour que le polynôme suivant ait une racine multiple, et trouver cette racine multiple.
ATTENTION. Cet exercice n'accepte pas les réponses approximatives ! Il y a toujours une solution entière. Trouvez-la.
Multiplicité paramétrée degré 4
Trouver une valeur de
pour que le polynôme suivant ait une racine multiple, et trouver cette racine multiple.
ATTENTION. Cet exercice n'accepte pas les réponses approximatives ! Il y a toujours une solution entière. Trouvez-la.
Paramétré deg 2
Pour quelles valeurs réelles du paramètre le polynôme
()2 + (2) +
a ? (
)
Paramétré deg 2 II
Pour quelle valeur réelle du paramètre le polynôme
()2 + () + ()
a une racine égale à ? (Sous condition que 0.)
Racines polynome complexe deg 2
Calculer les deux racines du polynôme
P() = 2 + () + ().
Vous pouvez entrer les deux racines , dans n'importe quel ordre.
Fonction de racines deg 2
Soient
,
les deux racines du polynôme
où
est un coefficient réel. Quelle est la valeur de
? (Cette valeur est une fonction de
.)
Fonction de racines deg 3
Soient
,
,
les trois racines du polynôme
,
où
est un coefficient réel non nul. Quelle est la valeur de
? (Cette valeur est une fonction de a.)
Re(racine) deg 2
Soit P() = 2 + un polynôme à coefficients réels, ayant deux racines complexes conjuguées. Quelle est la partie réelle d'une racine r ?
Compte racines avec dérivée
Soit
un polynôme de degré et à coefficients , et soit
le polynôme dérivé de
. On sait que pgcd(
) est un polynôme de degré . Quel est le nombre de racines distinctes de
? (racines réelles et complexes confondues)
Racine de polynôme composé
Soient () un polynôme, et () = 2 un autre polynôme. Considérons les polynômes composés (()) et (()). Complétez :
Si est une racine de , alors .
Racines réelles deg 2
Trouver les deux racines r1, r2 du polynôme
2 .
(Les racines sont réelles, et l'ordre des racines est sans importance.)
Multiplicité racine de somme
Soient () et () deux polynômes. Complétez :
Si est une racine de multiplicité de () et aussi une racine de multiplicité de (), alors est une racine de multiplicité ________ de .
Statut racines deg 2
Quel est le type de racines du polynôme de degré 2 suivant ?
2
Factorisation de trinôme
Factoriser
.
Etape 1. Mettons les termes de
en un carré complet :
= (
)2.
Nous avons
.
Etape 2. Donc
-
=
-
2 .
Donc
-
=
Etape 3.
Maintenant on applique la formule
(
)(
).
Résultat :
.
(Il faut entrer les expressions simplifiées.)
Racine triple deg 3
Pour quelles valeurs réelles des paramètres et le polynôme
P() = 3 + 2 + + (-)
a une racine triple ?
Racine triple deg 3 II
Pour quelles valeurs réelles des paramètres et le polynôme
P() = 32 +(++)
a une racine triple ? (La solution n'est pas forcément unique.)
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Description: collection d'exercices sur les polynômes d'une variable (coefficients réels ou complexes). interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra, polynomials,roots,gcd_lcm,complex_number
0.)