Les entiers naturels

Les entiers naturels


I Qu'est-ce que les entiers naturels ?

II Les axiomes de Péano

III Applications

IV Nommer les entiers

V Systèmes de numération antique

VI Vocabulaire

VII Tous les exercices WIMS

I Qu'est-ce que les entiers naturels ?

Les entiers naturels → I Qu'est-ce que les entiers naturels ?

I-1 Comptine numérique

I-2 Le mot-nombre

I-3 Définition des entiers dans un contexte cardinal

I-4 Définition des entiers dans un contexte ordinal

I-1 Comptine numérique

Les entiers naturels → I Qu'est-ce que les entiers naturels ? → I-1 Comptine numérique

On apprend d'abord la comptine numérique qui est la suite des mots-nombres en associant visuellement ou mentalement un objet nouveau à chaque mot récité.
Pour compter un petit nombre de billes, on va les regarder une à une et dire pour chacune d'entre elles un mot-nombre. On établit donc une correspondance (bijection) entre deux ensembles (les nombres pouvant être au départ représentés par des cailloux, origine du mot calcul ou par des mots-nombres ensuite).
Ainsi, le dernier nombre dit a deux statuts : celui de montrer la dernière bille (nombre ordinal) et celui de donner le cardinal de l'ensemble qu'on vient de compter.
Selon les contextes dans lesquels on se place, compter peut signifier réciter la comptine (c'est ce que font les enfants très jeunes) ou dénombrer (ce qui implique une prise de conscience de ce que signifient les mots).

I-2 Le mot-nombre

Les entiers naturels → I Qu'est-ce que les entiers naturels ? → I-2 Le mot-nombre

Le mot-nombre peut être selon le contexte
  • un cardinal : il fait référence alors à la totalité d'un ensemble d'objets en nombre fini. Le cardinal est le nombre d'éléments d'un ensemble.
  • un ordinal : il fait alors référence à un élément au sein d'un ensemble d'éléments ordonnés et décrit la position relative de cet élément.
  • une mesure : il réfère à une quantité continue et indique combien d'unités lui correspondent.

Si l'on compte un ensemble d'objets, l'ordre dans lequel on les énumère n'a pas d'importance, seul le dernier nombre que l'on a dit a de l'importance. On retrouve cette problématique dans la situation suivante : ayant un ensemble de N objets et un autre ensemble à côté , on dénombre les éléments du second ensemble en commençant à N+1.

I-3 Définition des entiers dans un contexte cardinal

Les entiers naturels → I Qu'est-ce que les entiers naturels ? → I-3 Définition des entiers dans un contexte cardinal

Deux ensembles qui ont même cardinal sont deux ensembles qui ont le même nombre d'éléments. On dit encore que les deux ensembles sont équipotents ou en correspondance terme à terme. On est dans une situation où le mot-nombre quantifie une collection d'éléments et où il s'agit de répondre à la question combien ? . On associe le même mot-nombre à deux ensembles ayant même nombre d'éléments.
Il faut être conscient que, si on a dénombré les éléments d'un ensemble à l'aide de la comptine, le dernier mot-nombre prononcé correspond au nombre d'éléments de l'ensemble. On doit aussi faire abstraction de la nature et des différences éventuelles entre les objets dénombrés ainsi que de leur position spatiale.
La première question qui se pose alors est la comparaison des ensembles du point de vue de la quantité d'objets qu'ils contiennent.
Et le zéro ? Compter le nombre d'éléments d'un ensemble qui n'en contient pas n'est pas très naturel.

I-4 Définition des entiers dans un contexte ordinal

Les entiers naturels → I Qu'est-ce que les entiers naturels ? → I-4 Définition des entiers dans un contexte ordinal

La notion d'ordinal est associée à l'idée d'éléments d'une suite ordonnée. Chaque entier ordinal (un mot-nom) a toujours un et un seul successeur. Le mot-nombre décrit l'ordre d'un élément dans un ensemble d'éléments ordonnés. Il s'agit donc de répondre à la question Où.

II Les axiomes de Péano

Les entiers naturels → II Les axiomes de Péano

II-1 Axiomes

II-2 Autres formes du principe de récurrence

II-3 Structure additive

II-4 Structure multiplicative

II-5 Structure d'ordre

II-1 Axiomes

Les entiers naturels → II Les axiomes de Péano → II-1 Axiomes

On a cherché au 19-ième siècle à donner une définition à ces entiers naturels c'est-à-dire à trouver un certain nombre de propriété minimales permettant de construire l'ensemble des entiers et le caractérisant en un certain sens.
C'est un ensemble vérifiant (en appelant entiers ses éléments) :
  • A0 :
    0 est un entier.
  • A1 :
    Tout entier a un successeur (et un seul, on note s(a) le successeur de a).
  • A2 :
    0 n'est pas le successeur d'un entier.
  • A3 :
    Si deux entiers ont même successeur, ils sont égaux.
  • A4 (Principe de récurrence) :
    Soit A un sous-ensemble contenant 0 et le successeur de chacun de ses éléments. Alors, A est l'ensemble .

Dans le vocabulaire des noms-nombres, le successeur de zéro est un, le successeur de un est deux, le successeur de deux est trois, ... L'ensemble des entiers tels que vous le connaissez vérifie bien ces propriétés.
Quelques remarques sur ces axiomes :
  • A0 dit que n'est pas vide. Dans les remarques suivantes, on suppose qu'il est vérifié.
  • A1 signifie que l'on a une application s de dans ; A2 implique que l'image de s ne contient pas 0 ; A3 signifie que cette application est injective.
  • A2 dit que possède un premier élément (un ensemble de boules sur un collier, où l'on définit le successeur comme celui qui le suit en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre, ne vérifie pas A2.)
  • On déduit de A4 que Tout entier autre que 0 est le successeur d'un entier (ce que l'on va noter A2b); ainsi, l'image de s est égale à . En effet, considérons le sous-ensemble formé A de tous les successeurs et de 0. L'ensemble des successeurs de A est contenu dans l'ensemble des successeurs de donc dans A. Par A4, c'est donc .
  • Un ensemble non vide vérifiant A1, A2 et A3 est infini. En effet, supposons-le fini, on énumère les éléments à partir de 0 dans l'ordre des successeurs (ce qui est permis par A1). Le dernier dans l'énumération ne peut avoir comme successeur 0 à cause de A2, ni un autre que 0 à cause de A3.
  • Remarquons qu'on peut construire des ensembles (finis) vérifiant deux des axiomes parmi A1, A2 et A3 (et vérifiant aussi A4) ;
    1. Un ensemble formé de 0, 1, 2 ... et a et où le successeur de a est 1 vérifie les axiomes sauf A3. (dessin sur un !).
    2. Un ensemble formé de 0, 1, 2 ... et a et où le successeur de a est 0 vérifie les axiomes sauf A2. (dessin sur un cercle).
    3. Un ensemble formé de 0, 1, 2 ... et a vérifie les axiomes sauf A1. (dessin sur un segment).

  • Il existe des ensembles vérifiant A1, A2 et A3 et vérifiant même A2b mais ne vérifiant pas A4. Pour en construire un, on va supposer connu et les propriétés de structure d'ordre afin de simplifier la construction et la rendre plus tangible. On prend la réunion de l'ensemble formé des , des , des pour . Bien sûr ici, est un ensemble vérifiant les axiomes ... Le successeur d'un élément est l'élément (unique) de l'ensemble qui lui est plus grand pour la structure d'ordre des réels. Ainsi,
    • Le successeur de est .
    • le successeur de est .
    • Le successeur de est .
    • le successeur de est .
    Remarquons que 1 n'est pas dans l'ensemble et que 0 est obtenu comme . Tout élément est le successeur d'un autre élément : pour ,
    • est le successeur de si .
    • est le successeur de si .
    • est le successeur de
    • est le successeur de si .
    Cet ensemble E ne vérifie pas A4 : le sous-ensemble A de E formé des avec contient 0 et le successeur de chacun de ses éléments se trouve encore dans A ; pourtant A n'est pas égal à E.




II-2 Autres formes du principe de récurrence

Les entiers naturels → II Les axiomes de Péano → II-2 Autres formes du principe de récurrence

Voici une autre forme du principe de récurrence.

Proposition

Soit P(n) une propriété dépendant d'un entier naturel n. On suppose que
  1. P(0) est vraie ;
  2. P(n) implique P(s(n)) pour tout entier naturel n.
Alors, P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

Démonstration
Soit A l'ensemble des entiers n tels que la propriété P(n) est vraie. L'entier 0 appartient à A puisque P(0) est vraie. Si n est dans A, son successeur est aussi dans A. Donc, par A4, .

II-3 Structure additive

Les entiers naturels → II Les axiomes de Péano → II-3 Structure additive

Définissons une structure additive sur , c'est-à-dire l'opération addition
On définit récursivement l'addition sur en posant
a + 0 = a et a + s(b) = s(a + b) pour tous a et b.

Si on note 1 = s(0), on peut alors écrire s(a) = s(a + 0) = a + 1. Ainsi, a + 1 est le successeur de a.

Exercice

Montrer que
Dès que l'on compare les cardinaux de deux ensembles ou que l'on joint deux ensembles, on est amené à faire une opération additive qui évite de refaire la comptine numérique sur le premier ensemble : on compte les éléments du deuxième ensemble en partant du successeur du cardinal du premier ensemble.

II-4 Structure multiplicative

Les entiers naturels → II Les axiomes de Péano → II-4 Structure multiplicative

La multiplication sur est définie récursivement en posant
et
autrement dit
et
On a alors par exemple

Exercice

Montrer que

La définition précédente est liée à la représentation du produit de deux entiers sous forme d'aire : on a un rectangle partagé en carrés, on rajoute une rangée, ...
a times s(b) = a times b + a
s(b) = +
a

Une autre définition, pour laquelle la propriété de commutativité est moins évidente, est

II-5 Structure d'ordre

Les entiers naturels → II Les axiomes de Péano → II-5 Structure d'ordre

On définit une relation sur : s'il existe un entier naturel c tel que a + c = b. Autrement dit, .
En particulier pour tout . Les propriétés de cette relation sont celles d'un ordre total, c'est-à-dire que pour tous a, b et c dans ,
  • ;
  • si et , alors a = b ;
  • si et si , alors ;
  • on a soit , ou (ordre total).

Proposition

muni de cet ordre est un ensemble bien ordonné : tout ensemble non vide d'entiers naturels possède un plus petit élément.
Autrement dit, si A est un sous-ensemble non vide de , il existe un entier N de A tel que pour tout entier .
Démonstration
On considère la propriété suivante :
P(n) : si A est un sous-ensemble de tel que A contient un élément inférieur ou égal à n, alors A possède un plus petit élément.
  • P(0) est vraie : dans ce cas, un sous-ensemble A comme utilisé dans P(0) contient 0. Son plus petit élément est donc 0 car 0 appartient à A et que 0 est plus petit que tout élément de donc de A.
  • Supposons P(n) vraie. Montrons P(n + 1). Soit A un ensemble de contenant un élément inférieur ou égal à n + 1. S'il contient un élément inférieur ou égal à n, d'après P(n), il a un plus petit élément. Sinon, c'est que tous ses éléments sont supérieurs ou égaux à n + 1 qui est donc le plus petit élément de A.
Par le principe de récurrence, la propriété P(n) est vraie pour tout entier n.

Proposition

Tout ensemble non vide et fini d'entiers naturels possède un plus grand élément.
Autrement dit, si A est un sous-ensemble non vide et fini de , il existe un entier N de A tel que pour tout entier .
Démonstration
On raisonne ici sur le cardinal de l'ensemble. La propriété de récurrence que l'on va prendre est la suivante :
P(n) : si A est de cardinal n + 1, alors A a un plus grand élément.
  • P(0) est vrai : si un ensemble d'entiers naturels contient un seul élément, celui-ci est aussi son plus grand élément.
  • Supposons P(n) vraie. Montrons P(n + 1). Soit A un sous-ensemble de de cardinal n + 1. Soit a0 le plus petit élément de A et B le sous-ensemble de A obtenu en enlevant a0. Alors, B a n éléments, il admet donc un plus grand élément b d'après P(n) qui est aussi le plus grand élément de A car il est forcément plus grand que a0.

III Applications

Les entiers naturels → III Applications

III-1 Une histoire de lapins d'après Fibonacci (1202)

III-2 Une histoire de croissance

III-3 Des suites classiques et des histoires de prêts bancaires

III-4 Des démonstrations par récurrence

III-1 Une histoire de lapins d'après Fibonacci (1202)

Les entiers naturels → III Applications → III-1 Une histoire de lapins d'après Fibonacci (1202)

Un fermier possède un couple de bébés lapins. Les bébés mettent deux mois pour atteindre leur maturité et engendrent alors un autre couple de lapins au début de chaque mois. Combien de couples de lapins le fermier a-t-il chaque mois ?

III-2 Une histoire de croissance

Les entiers naturels → III Applications → III-2 Une histoire de croissance
  www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html : Suppose that when a plant puts out a new shoot, that shoot has to grow two months before it is strong enough to support branching. If it branches every month after that at the growing point, we get the picture shown here.
A plant that grows very much like this is the sneezewort: Achillea ptarmica.


III-3 Des suites classiques et des histoires de prêts bancaires

Les entiers naturels → III Applications → III-3 Des suites classiques et des histoires de prêts bancaires

La notion de suite est liée aux entiers naturels. On peut les définir de manière explicite ou par récurrence. Voici quelques suites classiques :
  • Suite arithmétique : . Formule explicite : un = u0 + n a
  • Suite géométrique : . Formule explicite : un = an u0

Application : Soit C le capital emprunté, le taux mensuel et N le nombre de mensualités et M la mensualité.
On note Cn la somme qui reste à rembourser au bout de n mois.
La formule de récurrence qui relie avec Cn est la suivante

On a donc un mélange de suite arithmétique et de suite géométrique. On cherche un nombre A tel que la suite Cn - A soit géométrique de raison . On trouve . Donc .

Le taux annuel est souvent calculé comme . Or cette formule indique plutôt que .

III-4 Des démonstrations par récurrence

Les entiers naturels → III Applications → III-4 Des démonstrations par récurrence

Exercice

Démontrer que pour .

Exercice

Déterminer le nombre de régions délimités par n droites du plan en position générale (deux quelconques de ces droites ne sont pas parallèles et trois quelconques ne sont pas concourantes).

Exercice

Peut-on paver un échiquier de 64 cases dont une est interdite a priori avec des trimonos (pièce formée de trois cases en forme de L).

Par quoi faut-il remplacer 64 pour pouvoir faire une démonstration par récurrence et avoir une propriété pour une infinité de tailles d'échiquiers ?

IV Nommer les entiers

Les entiers naturels → IV Nommer les entiers
L'étude du langage est très intéressante pour comprendre l'évolution de la représentation des entiers. Quelques remarques :
  • huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize ; il y a une racine commune entre onze et un, douze et deux, et cela jusqu'à seize, mais ensuite on passe à dix-sept, dix huit, dix neuf.
  • trente et un, trente-deux ... quarante... on semble aller de dix en dix, puis soixante, soixante-dix, quatre-vingt, quatre-vingt dix. Comme si on revenait en système de numération de base 20.
  • L'hôpital des quinze-vingts a ouvert, comme l'indique son nom, pour quinze fois vingts personnes, c'est-à-dire pour trois cents personnes.
  • Un, deux et les autres :
    • En russe
      On utilise pour 1 le nominatif singulier, pour 2 à 4 le génitif singulier et pour des nombres plus grands que 5 le génitif pluriel.
    • pour les ordinaux
      un / premier, deux / second, trois / troisième, quatre / quatrième
      one / first, two / second, three / third, foor / forth
      Ainsi, il y a dans le langage des noms différents pour les deux premiers nombres ordinaux, par contre à partir de trois, il y a des similitudes de langage.
  • Dans le Le bourgeois gentilhomme Acte 3 Scène IV (vérifier les comptes)
    MONSIEUR JOURDAIN.- Je crois que oui. J'en ai fait un petit mémoire. Le voici. Donné à vous une fois deux cents louis.
    DORANTE.- Cela est vrai.
    MONSIEUR JOURDAIN.- Une autre fois, six-vingts.
    DORANTE.- Oui. MONSIEUR JOURDAIN.- Et une autre fois, cent quarante.
    DORANTE.- Vous avez raison.
    MONSIEUR JOURDAIN.- Ces trois articles font quatre cent soixante louis, qui valent cinq mille soixante livres.
    DORANTE.- Le compte est fort bon. Cinq mille soixante livres.
    MONSIEUR JOURDAIN.- Mille huit cent trente-deux livres à votre plumassier.
    DORANTE.- Justement.
    MONSIEUR JOURDAIN.- Deux mille sept cent quatre-vingts livres à votre tailleur.
    DORANTE.- Il est vrai.
    MONSIEUR JOURDAIN.- Quatre mille trois cent septante-neuf livres douze sols huit deniers à votre marchand.
    DORANTE.- Fort bien. Douze sols huit deniers; le compte est juste.
    MONSIEUR JOURDAIN.- Et mille sept cent quarante-huit livres sept sols quatre deniers à votre sellier.
    DORANTE.- Tout cela est véritable. Qu'est-ce que cela fait?
    MONSIEUR JOURDAIN.- Somme totale, quinze mille huit cents livres.

V Systèmes de numération antique

Les entiers naturels → V Systèmes de numération antique

La numération que nous utilisons est une numération de position en base 10. Le zéro permet d'indiquer les positions qui manquent.



V-1 Numération égyptienne

V-2 Numération babylonienne

V-3 Numération Maya

V-4 Comparaison

V-1 Numération égyptienne

Les entiers naturels → V Systèmes de numération antique → V-1 Numération égyptienne

La numération égyptienne est une numération additive en base 10 : il y a des signes pour les puissances de 10 et on les répète autant de fois que nécessaire.
Ainsi,

1 1 1 10 10 10 100 100 100 100 1000 1000 1000 1000 10 000 10 000 10 000 100 000 100 000 100 000 100 000

est l'écriture égyptienne de l'entier naturel 434433.
L'ordre dans lequel ces signes sont mis n'a pas d'importance :
egyptien_10 egyptien_100 egyptien_10 egyptien_10 egyptien_10 egyptien_100 et egyptien_100 egyptien_10 egyptien_100 egyptien_10 egyptien_10 egyptien_10 représentent tous deux l'entier naturel 240.

Exercice

  1. Civilisation égyptienne : I
  2. Civilisation égyptienne : II
  3. Civilisation égyptienne : x 10
  4. Civilisation égyptienne : +

V-2 Numération babylonienne

Les entiers naturels → V Systèmes de numération antique → V-2 Numération babylonienne

Les babyloniens utilisaient deux caractères écrits avec des poinçons sur les tablettes : le clou représentant 1 et pouvant être répété jusqu'à 9 fois et le chevron représentant 10 et pouvant être répéter jusqu'à 5 fois :
clou chevron

Ces règles permettent d'écrire les nombres jusqu'à 60 (numération additive en base 10). Ensuite les balyloniens représentaient des groupes de 60 unités. Cette numération est donc alors une numération de position en base 60.
Ainsi,

clou clou chevron chevron chevron chevron      clou clou chevron chevron chevron

représente l'entier naturel 2 ×1 + 3 ×10 + 60 (2 ×1 + 4 ×10) = 2552.
Les soixantaines ont été mises ici sur la gauche.

Exercice

  1. Civilisation babylonienne : I
  2. Civilisation babylonienne : II

V-3 Numération Maya

Les entiers naturels → V Systèmes de numération antique → V-3 Numération Maya

Les nombres au dessous de 20 s'écrivent selon une numération additive en base 5 (un point pour 1 et une barre pour 5) et selon une numération de position en base 20 de haut en bas. Un symbole représentait une place vide : le zéro.
Ainsi,
 
 
 
représente l'entier naturel 18 ×203 + 5 ×202 + 0 ×20 + 14 ×1 = 16414 que l'on peut aussi écrire

16414 = ( ×5 + ) ×203 + ( ×5 + ) ×202 + ( ×5 + ) ×20 + ( ×5 + )


Certaines irrégularités avaient lieu dans le cas des dates et des heures. Nous n'en parlons pas ici.

Exercice

  1. Civilisation Maya : I
  2. Civilisation Maya : II

V-4 Comparaison

Les entiers naturels → V Systèmes de numération antique → V-4 Comparaison

Pour écrire le nombre 999, il faut
  1. 9 + 9 + 9 = 27 symboles en numération égyptienne
  2. 14 symboles en numération maya :
  3. 19 symboles en numération babylonienne :
  4. 3 symboles en numération décimale.

Exercice

Nombre de symboles

VI Vocabulaire

Les entiers naturels → VI Vocabulaire

Systèmes de numération :
unaire  1  octal  8
binaire  2  nonaire  9
trinaire  3  décimal  10
quaternaire  4  duodécimal  12
quinaire  5  hexadécimal  16
sénaire  6  vicésimal  20
septénaire  7  sexagésimal  60

VII Tous les exercices WIMS

Les entiers naturels → VII Tous les exercices WIMS
  • Civilisation égyptienne : I
  • Civilisation égyptienne : II
  • Civilisation égyptienne : x 10
  • Civilisation égyptienne : +
  • Civilisation babylonienne : I
  • Civilisation babylonienne : II
  • Civilisation Maya : I
  • Civilisation Maya : II
  • Nombre de symboles

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