Résolution d'équations

Résolution d'équations


Sur la résolution des équations de base

I Égalité

II Équation

III Problème

I Égalité

Définition [Égalité]

Une égalité est une phrase mathématique dans laquelle il y a un signe égal. Cette égalité peut être vraie ou fausse.

Exemple

  • Soit t la taille du professeur. L'égalité t=184 cm est vraie !
  • Soit m la masse du professeur. L'égalité m=24 kg est (heureusement) fausse.

Une égalité peut être écrite avec un nombre inconnu, le plus souvent désigné par une lettre, par exemple 3x+336=15x. Tester l'égalité, c'est regarder si l'égalité est vraie pour une valeur particulière donnée à x.

Exemple [ ]

Gardons l'équation ci-dessus : 3x+336=15x. L'égalité est-elle vraie si x=3 ? si x=28 ?
  • Quand x=3, on donne 3 comme valeur particulière de x dans l'égalité précédente. On calcule séparément la valeur des membres de gauche et de droite de l'égalité avec cette valeur particulière.
    , soit 345 et pour l'autre membre, soit 45. Les nombres 345 et 45 ne sont pas égaux donc l'égalité est fausse pour x=3. On dit aussi que 3 n'est pas solution de l'équation.
  • Faisons le même travail pour x=28.
    Pour le membre de gauche : soit 420. Et pour l'autre membre, soit 420. Quand x=28, les deux membres sont égaux ; on dit que 28 est solution de l'équation. Mais qu'est-ce qu'une équation ?
Résolution d'équations → I Égalité

II Équation

Définition [Équation]

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition [Résoudre une équation]

Résoudre une équation, c'est déterminer la valeur (ou les valeurs) que doit prendre cette inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

Exercice

  • [ ] Quelles valeurs peut-on donner à x pour que l'équation soit vraie ?
  • [ ] Quelles valeurs peut-on donner à x pour que l'équation soit vraie ?

Solution
  • On peut donner n'importe quelle valeur, il y a une infinité de solution. Plus tard dans la scolarité, on verra d'autres équations qui ont 2, 3 ... solutions.
  • Il n'y a pas de solution !
On
résout
noter le t final
une équation comme le montre les exemples suivants, en retenant les règles générales ci-après :

Proposition

On ne change pas les solutions d'une équation quand :
  • On additionne un même nombre à ses deux membres ;
  • On soustrait un même nombre à ses deux membres ;
  • On multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;
  • On divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;

II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

Résolution d'équations → II Équation

II-1 Premier exemple


On veut résoudre l'équation e-7=8, on procède ainsi :
La solution de l'équation est e=15.
Résolution d'équationsII Équation → II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple


On veut résoudre l'équation k+10=11, on procède ainsi :
La solution de l'équation est k=1.
Résolution d'équationsII Équation → II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple


On veut résoudre l'équation 3u=60, on procède ainsi :

La solution de l'équation est u=20.
Résolution d'équationsII Équation → II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple


On veut résoudre l'équation , on procède ainsi :

La solution de l'équation est v=45.
Résolution d'équationsII Équation → II-4 Quatrième exemple

III Problème

Il y a trois étapes à respecter pour la rédaction des résolutions des problèmes :
  1. Si elle n'est pas imposée par l'énoncé, le choix de l'inconnue. Généralement, soit v ce que l'on cherche .
  2. Mise en équation du problème et sa résolution.
  3. Conclusion par une phrase au problème posé.


Exercice

Le père d'Augustin a sept fois l'âge de son fils et si l'on ajoute 13 à la somme de leur âge, on trouve un 61.
Solution
  1. Choix de l'inconnue Soit v l'âge d'Augustin.
    • Mise en équation Le père d'Augustin a sept fois son âge, donc son âge est de : 7v ;
      La somme de leur âge est donc de 7v+v=8v.
      Si on ajoute 13 à la somme de leur âge, on trouve 61, d'où l'équation 8v+13=61
    • Résolution

  2. Augustin a donc 6 ans. (Bonus : son père a 42 ans !)
Résolution d'équations → III Problème

document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire).
: equations, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

The most recent version

Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur web.
Afin de tester le navigateur que vous utilisez, veuillez taper le mot wims ici : puis appuyez sur ``Entrer''.

Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne sont pas des fichiers HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE. Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.